这些可以使用section in toc样式实现，一个简单的实现代码如下：

\documentclass{ctexbeamer}

% 带圈数字宏包
\usepackage{circledtext}
% 设置带圈数字样式(注意charcolor需要先设置)
\circledtextset{boxtype=o,charcolor=black,boxcolor=green,boxfill=green}

% 定义目录样式
\defbeamertemplate{section in toc}{circled numbered}{%
  \leavevmode% 进入水平模式
  \leftskip=0.2\textwidth% 左边距
  \llap{%
    \circledtext{\inserttocsectionnumber}% 带圈数字
  }%
  \kern 2em% 编号与item之间的水平间距
  \inserttocsection\par% 节标题
}

% 设置目录样式
\setbeamertemplate{section in toc}[circled numbered]

\begin{document}

\begin{frame}
  \frametitle{目录}
  \tableofcontents
\end{frame}

\section{第一部分}

\begin{frame}
  \frametitle{引言}
  针对....
\end{frame}

\section{第二部分}

\begin{frame}
  \frametitle{方法与材料}
  在天....
\end{frame}

\section{第三部分}

\begin{frame}
  \frametitle{结果}
  结果没错....
\end{frame}

\end{document}

其结果如下：

另一个标题问题，我觉得应该是保留标题更为合理。如果要改，同样可以通过\setbeamertemplate{frametitle continuation}设置样式解决：

\documentclass{ctexbeamer}

\usepackage{zhlipsum}

% 删除分页frame后续slides的标题
\makeatletter
\setbeamertemplate{frametitle continuation}{\gdef\beamer@frametitle{}}
\makeatother

\begin{document}
\begin{frame}[allowframebreaks]{分页首页标题}
  \zhlipsum[1]
  \framebreak
  \zhlipsum[2]
  \framebreak
  \zhlipsum[3]
\end{frame}

\begin{frame}{单页标题}
  \zhlipsum[4]
\end{frame}

\end{document}

结果为：

请提供MWE，这样的代码无法进行测试。

可以试试tabularray宏包

可以查看一下双线路径的实现代码，模仿一个三线出来。我觉得就是一个偏移问题，应该不是非常困难。

个人建议：

1. 在导言区进行格式调整，也就是说将以下代码置于导言区：

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%设置headline  显示各章主题
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setbeamertemplate{headline}
{ 
    \begin{beamercolorbox}[wd=\paperwidth,center]{headline color}%
        \usebeamerfont{title in head/foot}
        \insertsectionnavigationhorizontal{\dimexpr\paperwidth-2cm}{}{}
    \end{beamercolorbox}%
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%设置footline为带底色  显示页码、作者简短姓名、标题简短姓名
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\setbeamertemplate{footline}{
    
    \begin{beamercolorbox}[wd=\paperwidth, ht=2.25ex, dp=1ex, leftskip=0pt, rightskip=10pt]{footline color}{
            \insertshortauthor  \hfill \insertshorttitle \hfill \insertframenumber/\inserttotalframenumber}
    \end{beamercolorbox}%
}

1. 如果在Beamer中的某一帧不需要页眉页脚，可以对frame命令或环境使用[plain]可选项，如：

\frame[plain,noframenumbering]{\titlepage}

或

\begin{frame}[plain,noframenumbering]{Outline}
  \tableofcontents
\end{frame}

其中的[noframenumbering]选项用于停止该帧计数。

PS.建议在命令行用texdoc beamer打开其说明书，通读后按Beamer的逻辑进行工作，而不是简单的以结果导向写代码。

既然说“斜率场需要自己用tikz绘制”，那么就可以用TikZ画个合适大小的矩形包围一下就应该可以了。

可以使用tkz-fct宏包绘制函数曲线，用\tzkText命令添加文本。

看看这个可以不？在Beamer中使用TikZ样式实现覆盖动画

给一个样例才好，实在不行就画一个，然后封装为数学符号。如：使用Tikz定义平行且相等以及平行四边形的符号或用l3draw绘制全等近似和平行且相等符号

我也觉得这种要求是胡来，但如果你非要这个做，在命令行用texdoc gb7714打开说明书，读第“2.3.2 段落格式控制”小节，在该小节有文献表水平间距 (缩进) 控制的详细说明，并且在“例 15. 文献表水平缩进控制”中有完成的示例代码。

遇到问题，读说明书应该是最为直接和可靠的方法。

没有MWE，猜不到。

命令行用texdoc beamer打开说明书，有说明。

先把代码用代码块包围，重新提交一下问题，要不没法复制测试。

texdoc gb7714，然后读2.1 样式及选项加载

正常xe+biber+xe+xe编译就可以了，简单的话，直接latexmk --xelatex jobname.tex就可以了。

建议在命令行进行操作，确保命令行正常后，再配置IDE。

另，请用代码块提供MWE。

两天来一直升级测试，没有复现这个问题。