文档能成功编译，大部分页码显示正常，但是有部分页码显示乱码，如何让所有页码都正常显示？

代码要 UTF8 编码，包括子文件和格式定义的 sty cls 等等文件。

用 UTF8 编码也不行的

具体问题在哪我不清楚，但可能和 \item 没有完结有关系。

\documentclass[12pt,a4paper]{exam}
\usepackage{ctex}
\usepackage{sexam-cn}
\usepackage{amsmath}

\newcommand{\parallelsum}{\mathbin{\!/\mkern-5mu/\!}}
%\usepackage{indentfirst}



%---------------------------------------------------------------------
%----------InFo-------------------------------- ----------------------
\runtitle{2021年春季学期高一年级数学基础知识竞赛试题}
\warning{严禁抄袭, 请诚信考试}


\school{\blankline}
\duree{2小时}
\niveau{\blankline}
\annee{2021--05--20}
\exam{星空}

\everymath{\displaystyle}





%-----------------------------------------------------
\begin{document}
\makeInFo

\begin{questions}
\question

\cn{选择题20题, 每小题1分, 共20分}

\begin{enumerate}
\item 若角$\alpha$ 是第三象限角, 则角$\alpha-270^\circ$ 的终边所在的象限是( \quad D \quad)

\hchoices{第一象限,
第二象限,
第三象限,
第四象限}

\item 若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍, 则( \quad B \quad )

\begin{enumerate}
\item 扇形的圆心角不变
\item 扇形的圆心角不变
\item 扇形的面积变为原来的2倍
\item 扇形的圆心角变为原来的2倍
\end{enumerate}



\item 向量$\vec{\vphantom{A}a}=(2, t), \vec{\vphantom{A}b}=(-1, 3)$, 若$\vec{\vphantom{A}a}, \vec{\vphantom{A}b}$ 的夹角为钝角, 则$t$的范围是(  \quad C \quad)

\hchoices{$t<\frac{2}{3}$,
$t>\frac{2}{3}$,
$t<\frac{2}{3}$ 且$t\neq -6$,
$t<-6$}

\item 化简$\sqrt{1-2\sin 1\cos 1}$ 得结果为(  A  )

\hchoices{$\sin 1-\cos 1$,
$\cos 1-\sin 1$,
$\sin 1+\cos 1$,
$-\sin 1-\cos 1$}

\item 化简$\sqrt{1-2\sin 1^\circ \cos 1^\circ}$ 得结果为(  B  )


\begin{enumerate}
\item $\sin 1^\circ-\cos 1^\circ$
\item $\cos 1^\circ-\sin 1^\circ$
\item $\sin 1^\circ+\cos 1^\circ$
\item $-\sin 1^\circ-\cos 1^\circ$
\end{enumerate}


\item 若$\tan \alpha =2,$ 则$\sin^2 \alpha-\cos^2 \alpha=$ ( A )

\hchoices{$\frac{3}{5}$,
$-\frac{3}{5}$,
$\frac{4}{5}$,
$-\frac{4}{5}$}

\item 已知$\cos x=\frac{3}{4}, $则$\cos 2x=$ (  D  )

\hchoices{$-\frac{1}{4}$,
$\frac{1}{4}$,
$-\frac{1}{8}$,
$\frac{1}{8}$}

\item 设$\theta$ 为第三象限, $\sin \theta=-\frac{3}{5}$, 则$\sin \theta =$(  D  )

\hchoices{$-\frac{7}{25}$,
$\frac{7}{25}$,
$-\frac{24}{25}$,
$\frac{24}{25}$}

\item 将函数$f(x)=\sin 2x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$个单位长度后得到 的图象,则函数 的解析式是(  C  )


\begin{enumerate}
\item $g(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$
\item $g(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$
\item $g(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{3})$
\item $g(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{6})$
\end{enumerate}


\item 要得到函数$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})$ 的图象, 只需将函数 $g(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的图象(  D  )

\begin{enumerate}
\item 向左平移 $\frac{\pi}{6}$个单位长度
\item 向右平移 $\frac{\pi}{6}$个单位长度
\item 向左平移 $\frac{\pi}{12}$个单位长度
\item 向右平移 $\frac{\pi}{12}$个单位长度
\end{enumerate}

\item 为得到函数 $y=\cos (2x+\frac{\pi}{3})$的图像, 只需将函数 $y=\sin 2x$的图像(  B  )

\begin{enumerate}
\item 向右平移 $\frac{5\pi}{12}$个单位长度
\item 向左平移 $\frac{5\pi}{12}$个单位长度
\item 向右平移 $\frac{5\pi}{6}$个单位长度
\item 向左平移 $\frac{5\pi}{6}$个单位长度
\end{enumerate}

\item 11

\hchoices{$$,
$$,
$$,
$$}

\item 12

\hchoices{$$,
$$,
$$,
$$}

\item 13

\hchoices{$$,
$$,
$$,
$$}

\item 14

\hchoices{$$,
$$,
$$,
$$}

\item 15

\hchoices{$$,
$$,
$$,
$$}

\item 16

\hchoices{$$,
$$,
$$,
$$}

\item 17

\hchoices{$$,
$$,
$$,
$$}

\item 18

\hchoices{$$,
$$,
$$,
$$}

\item 19

\hchoices{$$,
$$,
$$,
$$}

\item 20

\hchoices{$$,
$$,
$$,
$$}

\end{enumerate}



\question
%
%$\triangle ABC$ 的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$ . 设$(\sin B- \sin C)^2 = \sin^2 A-\sin B \sin C$.
%
%(1) 求$A$;
%
%(2) 若$\sqrt{2} a+b=2c$，求$\sin C$.



\cn{填空题, 共300个空,  每空0.5分, 共 150 分}


%\blankline \blankline \blankline
\begin{enumerate}
\item 集合元素的三个特性分别为: \gap{确定性}、\gap{互异性}、\gap{无序性}
\item 集合中元素与集合的关系有且仅有两种(用符号表示): \gap{$\in$}和 \gap{$\notin$}
\item 非负整数集也称\gap{自然数集}, 用符号\gap{$N$}表示, 正整数集用符号\gap{$N^*$ 或$N_{+}$}表示.
\item 若有限集合$A$的元素个数有$n$个, 则集合$A$的子集、真子集、非空子集、非空真子集个数分为: \gap{$2^n$}、 \gap{$2^n-1$}、 \gap{$2^n-1$}、\gap{$2^n-2$}
\item $A\cup B=\{x|x\in A \text{或}x\in B\}$, $A\cap B=$\gap{$\{x|x\in A \text{且}x\in B\}$}
\item 若对应关系$f: A\rightarrow B$为集合$A$到集合$B$的一个函数, 则$A, B$是\gap{非空数集}; 若对应关系$f: A\rightarrow B$为集合$A$到集合$B$的一个映射, 则$A, B$是\gap{非空集合}
\item 在函数$y=f(x), x\in A$中, $x$叫做自变量,  $x$的取值范围$A$叫做函数的\gap{定义域}; 与$x$值相对应的$y$值叫做函数值, 函数值的集合\gap{$\{f(x)|x\in A\}$}叫做函数的值域.
\item 构成函数的三要素是: \gap{定义域}、\gap{对应关系}、\gap{值域}
\item 判断两个函数是否相同, 抓住两点:

\ding{172} \gap{定义域是否相同};

\ding{173} \gap{对应关系是否相同, 其中解释式可以化简, 但是要注意化简过程的等价性.}
\item 函数的表示法主要有三种, 分别为: \gap{解析法}、\gap{列表法}、\gap{图像法}
\item 若函数$f(x)$在$D$上是增函数, 则对于任意的$x_{1}, x_{2}\in D$且$x_{1}<x_{2}$都有\gap{$f(x_{1})-f(x_{2})<0$}; 若函数$f(x)$在$D$上是减函数, 则对于任意的$x_{1}, x_{2}\in D$且$x_{1}<x_{2}$都有\gap{$f(x_{1})-f(x_{2})>0$}.
\item $\forall x_{1}, x_{2}\in [a, b]$且$x_{1}\neq x_{2}$, 若$\frac{f(x_{1})-f(x_{2})} {x_{1}-x_{2}}>0\Leftrightarrow f(x)$在$[a, b]$上是\gap{单调增函数}.
\item $\forall x_{1}, x_{2}\in [a, b]$, 若$(x_{1}-x_{2})[f(x_ {1})-f(x_{2})]<0\Leftrightarrow f(x)$在$[a, b]$上是\gap{单调减函数}.
\item 当一个函数的单调递增区间(或递减区间)有多个时, 不能用 \gap{$\cup $}连接, 应该用\gap{“和” 或者“,”}连接.
\item 函数$y = \frac{1}{x}$单调递减区间为\gap{$(-\infty, 0)$和$(0, +\infty)$}
%    , 但不能写成\blankline  \textcolor{red}{$(-\infty, 0) \cup  (0, +\infty).$}
\item 判断一个函数$f(x)$是奇函数或者是偶函数的前提条件是: \gap{$f(x)$的定义域关于原点对称.}
\item 若$f(x)$是奇函数, 则函数图像关于\gap{原点对称}, 并且对于定义域中任意的$x$, 都有\gap{$f(-x)=-f(x)$}, 其等价形式有: \gap{$f(-x)+f(x)=0$或$ \frac{f(-x)}{f(x)}=-1$}; 如果定义域中包含$0$, 则   \gap{$f(0)=0$}; 如果函数在关于原点对称的区域上有最值, 则\gap{$f(x)_{max}+f(x)_{min}=0$.}
\item 若$f(x)$是偶函数, 则函数图像关于\gap{$y$轴对称}, 并且对于定义域中任意的$x$, 都有\gap{$f(-x)=f(x)$}, 其等价形式有: \gap{$f(-x)-f(x)=0$或 $\frac{f(-x)}{f(x)}=1$}
\item 判断函数奇偶性的方法主要有: \gap{定义法}和\gap{图像法}
\item 若二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$($a>0$), 则函数图像开口\gap{向上}, 定义域为\gap{$R,$} 值域为 \gap{$\left[\frac{4ac-b^2}{4a}, +\infty\right)$};
    在\gap{$\left(-\infty, -\frac{b}{2a}\right]$}上单调递减, 在\gap{$\left[-\frac{b}{2a}, +\infty\right)$}单调递增; 当$b=0$时为\gap{偶函数}; 当\gap{$b\neq 0$}时为非奇非偶函数; 对称轴为\gap{$x=-\frac{b}{2a}$}, 顶点坐标为\gap{$\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a} \right)$}.
\item 若二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$($a<0$), 则函数图像开口\gap{向下}, 定义域为\gap{$R,$} 值域为\gap{$\left(-\infty, \frac{4ac-b^2}{4a}\right]$};
    在\gap{$\left(-\infty, -\frac{b}{2a}\right]$}上单调递增, 在\gap{$\left[-\frac{b}{2a}, +\infty\right)$}单调递减.
\item 幂函数$y=x^\alpha$的三大特征是: \gap{幂$x^\alpha$前系数为1},   \gap{底数只能是自变量$x$}, \gap{项数只有一项}.
    当$\alpha>0$时, $f(x)=x^\alpha$\gap{单调递增}; 当$\alpha<0$时, $f(x)=x^\alpha$\gap{单调递减}.
\item 若函数$y=a^x$是指数函数, 则底数$a$前面的系数为: \gap{1},  底数$a$满足: \gap{$a>0$且$a\neq 1$},  当$a>1$时, $f(x)=a^x$ \gap{单调递增}, 底数越大, 图像越\gap{陡};
    当$0<a<1$时, $f(x)=a^x$\gap{单调递减}, 此时底数越小, 图像越\gap{陡}.
    函数定义域为\gap{$x\in R$},  值域为\gap{$y>0$}且图像恒过\gap{$(0, 1)$}点.
\item 对数函数$y=\log_{a}x$的定义域为\gap{$x>0$}, 底数$a$满足: \gap{$a>0, a\neq 1$}, 当底数$a=10$时, 称为\gap{常用对数函数}, 记作\gap{$\lg x$}; 当底数\gap{$a=e$}时, 称为自然对数函数, 记作\gap {$\ln x$}. 当底数\gap{$a>1$}时, 对数函数$y=\log_{a}x$单调递增; 当底数\gap{$0<a<1$}时, 对数函数$y=\log_{a}x$单调递减.
    函数图像恒过\gap{$(1, 0)$点.}
\item 当$n=2k+1$时, $\sqrt[n]{a^n}=$\gap{$a$};
当$n=2k$时, $\sqrt[n]{a^n}=$\gap{$|a|$}
\item $a^{r}a^{s}=a^{r+s}$, $a^{\frac{m}{n}}$=\gap{$\sqrt[n]{a^m}$}, $(\sqrt[n]{a})^n$=\gap{$a$.}
\item 把对数$\log_{a} N$换成以$c$为底的对数:  \gap{$\log_{a} N=\frac{\log_{c}N}{\log_{c}a}$};
    $\log_{a}M+\log_{a}N=$   \gap {$\log_{a}(MN)$}; $\log_{a^n}b^m$=\gap {$\frac{m}{n}\log_{a}b$}
\item 棱柱的结构特征主要有:

\ding{172}两底面是\gap{相互平行的多边形};

\ding{173}侧面都是\gap{四边形};

\ding{174}相邻两个四边形的公共边\gap{互相平行}

\newpage
\item 棱锥的结构特征主要有:

\ding{172}底面是\gap{多边形};

\ding{173}侧面均为\gap{共顶点的三角形}.

\item 棱台的结构特征主要有:

\ding{172}棱台的侧棱\gap{延长后必相交于一点};

\ding{173}上、下两个底面\gap{平行且是相似多边形}.

\item 底面是正多边形, 顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做\gap{正棱锥};

    \gap{各棱均相等的正三棱锥}叫做正四面体.
\item 斜二测画法画直观图的步骤:

\ding{172}在已知图形中建立平面直角坐标系$xOy$. 画直观图时, 它们分别对应$x^{\prime}$轴和$y^{\prime}$轴, 两轴交于点$O^{\prime}$, 使\gap{$\angle x^ {\prime}O^{\prime}y^{\prime}=45^\circ$}, 它们确定的平面表示水平平面;

\ding{173}图形中平行于$x$轴或$y$轴的线段, 在直观图中分别画成\gap{平行于$x^{\prime}$轴和$y^{\prime}$轴的线段};

\ding{174}图形中平行于$x$轴的线段, 在直观图中\gap{保持原长度不变}; 平行于$y$轴的线段, 在直观图中\gap{长度变为原来的$\frac{1}{2}$}.

\item 几何体的\gap{正视图}、\gap{侧视图}、\gap{俯视图}统称为几何体的三视图.

\item 画三视图的原则: \gap{“长对正、高平齐、宽相等”};

排列规则: \gap{左视图在主视图的右方, 俯视图在主视图的下方};

实线、虚线使用规则: \gap{分界线和可见轮廓线}都用实线画出, \gap{不可见轮廓线}用虚线.

\item 空间图形的公理1: 过不在一条直线上$l$的三点$A, B, C$, 有且只有一个平面. 该公理可用符号语言表示为:\gap{ $A, B, C $\text{三点不共线}$\Rightarrow $\text{有且只有一个平面}$\alpha$ \text{使得}$A, B, C\in \alpha$  }.

    公理1 有三个推论, 其中,

    推论1为: \gap{经过一条直线和直线外一点, 有且只有一个平面}

    推论2为: \gap{经过两条相交直线, 有且只有
     一个平面}

    推论3为: \gap{经过两条平行直线, 有且只有一个平面}.

试举例说明该公理的用途:

\ding{172} \gap{确定一个平面;}

\ding{173} \gap{判断两个平面重合;}

\ding{174} \gap{证明点、线共面.}

\item 空间图形的公理2: 如果一条直线$l$上的两点$A, B$在平面$\alpha$内, 那么这条直线也在这个平面内, 该公理可用符号语言表示为: \gap{ $A\in l, B\in l, \text{且}A\in \alpha, B\in \alpha\Rightarrow l\subsetneqq  \alpha$  }.
\item 空间图形的公理3: 如果两个不重合的平面$\alpha, \beta$有一个公共点$P$, 那么它们有且只有一条经过该点的公共直线$l$. 用符号语言可表示为: \gap{$P\in \alpha, \text{且}P\in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta=l, \text{且}P\in l$}.
    试举例说明该公理的用途:

    \ding{172} \gap{证明三点共线、三线共点;}

    \ding{173} \gap{确定两平面的交线}
\item 空间图形的公理4: 平行于同一条直线的两条直线平行. 用符号语言可表示为:

\gap{若直线$a\parallelsum b, \; b\parallelsum c$, 则$a \parallelsum c$}
\item 异面直线的定义: \gap{不在任何一个平面内的两条直线, 即不存在这样的平面, 能使得}\gap{两条直线同时在平面内.}

异面直线的性质:
\gap{既不相交也不平行.}

\item 等角定理: 在空间中, 如果两个角的两条边分别对应平行, 并且当这两个角的两边方向

    \gap{分别相同或都相反时}, 它们相等, 否则它们\gap{互补}.

\item 直线与平面平行的判定定理:

\ding{172}文字语言: 若平面$\alpha$外一条直线$l_{1}$与此平面内的一条直线$l_{2}$平行 , 则该直线与此平面平行.

\ding{173}符号语言: 若\gap{$l_{1}\not\subseteq \alpha, \; l_{2}\subsetneqq  \alpha, \; l_{1} \parallelsum l_{2}$, 则$l_{1}\parallelsum \alpha$.}


\item 证明线面平行的方法, 主要有两种:

\ding{172} \gap{利用定义: 证明线面无公共点;}

\ding{173} \gap{利用线面平行的判定定理: 线面平行转化为线线平行.}

\item 直线与平面平行的性质:

\ding{172} 文字语言: 如果一条直线$l_{1}$与一个平面$\alpha$平行 , 那么过该直线的任意一个平面$\beta$与平面$\alpha$的交线$l_{2}$与该直线$l_{1}$平行.

\ding{173} 符号语言: \gap{$l_{1} \parallelsum \alpha, \; l_{1}\subsetneqq  \beta, \; \alpha \cap \beta =l_{2}\Rightarrow l_{1}\parallelsum l_{2}$}.


\item 平面与平面平行的判定定理:

\ding{172} 文字语言: 若在平面$\alpha$内\gap{有两条相交直线$l_{1}, \; l_{2}$(交点为$A$)都平行于另一个平面$\beta$}, 那么这两个平面平行.

\ding{173} 符号语言: 若\gap{$l_{1}\subsetneqq  \alpha, \; l_{2} \subsetneqq  \alpha, \; l_{1} \cap l_{2}=A $, 并且$l_{1}\parallelsum \beta, \; l_{2}\parallelsum \beta$}, 则$\alpha \parallelsum \beta$.

\item 判定平面与平面平行的主要方法:

\ding{172} \gap{根据定义(不常用): 证明两个平面没有公共点, 通常要采用反证法.}

\ding{173} \gap{根据判定定理: 要证明两平面平行, 只需在其中一个平面内找到两条相交直线\\平行于另一个平面.}

\item 平面与平面平行的性质:

\ding{172} 文字语言: 如果两个平行平面$\alpha, \beta$同时与第三个平面$\gamma$相交, 那么它们的交线$l_{1}, l_{2}$平行.

\ding{173} 符号语言: \gap{$\alpha \parallelsum \beta, \; \alpha \cap \gamma=l_{1}, \; \beta \cap \gamma=l_{2} \Rightarrow l_{1}\parallelsum l_{2}$}

\item 直线与平面垂直:

\ding{172} 定义: 如果直线$l$与平面$\alpha$内的\gap{任何一条直线都垂直,} 就说直线$l$与平面$\alpha$互相垂直, 记作$l \perp \alpha$.

\ding{173} 判定定理:

$(a)$ 文字语言: 如果一条直线$l$与一个平面$\alpha$内的\gap{两条相交直线$a, b$(交点为$O$)都垂直}, 那么该直线$l$与此平面$\alpha$垂直.

$(b)$ 符号语言: \gap{$l \perp a, \; l \perp b, \; a\subsetneqq  \alpha, \; b\subsetneqq  \alpha, \; a\cap b=O\Rightarrow l\perp \alpha.$}

\ding{174} 性质定理:

$(a)$ 文字语言: 如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行.

$(b)$ 符号语言: \gap{$a\perp \alpha, \; b\perp \beta\Rightarrow a \parallelsum  b$}

$(c)$ 主要应用: \gap{证明两条直线平行}

\item 面面垂直:

\ding{172} 定义: 两个平面相交, 如果所成的二面角是\gap{直二面角}, 就说这两个平面互相垂直.

\ding{173} 判定定理:

$(a)$ 文字语言: 如果一个平面$\alpha$经过另一个平面$\beta$的一条垂线$a$, 那么这两个平面互相垂直.

$(b)$ 符号语言: \gap{$a\subsetneqq  \alpha, \; a\perp \beta\Rightarrow \alpha \perp \beta.$}

\ding{174} 性质定理:

$(a)$ 文字语言: 如果两个平面$\alpha, \beta$互相垂直, 那么在一个平面$\beta$内垂直于它们交线$m$的直线$l$垂直于另一个平面$\alpha$.

$(b)$ 符号语言: \gap{$\alpha \perp \beta, \; \alpha \cap \beta=m, \; l\subsetneqq \beta, \; l\perp m \Rightarrow l\perp \alpha. $}


$(c)$ 主要应用: \gap{证明直线与平面垂直}


\item 确定二面角的平面角的方法主要有以下三种:

\ding{172} \gap{定义法}:在二面角的棱上找一特殊点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.

\ding{173} \gap{垂面法}: 过棱上一点作棱的垂直平面, 该平面与二面角的两个半平面产生交线, 这两条交线所成的角, 即为二面角的平面角.

\ding{174} \gap{垂线法}: 在二面角的一个面内取一点$P$, 过点$P$作另一个面的垂线, 垂足为点$A$, 自垂足$A$作二面角的棱的垂线$AO, \; AO$与棱交于点$O$, 连接$PO$, 则$\angle POA$即为二面角的平面角或其补角.



\item 各种角的取值范围:

  \ding{172} 异面直线所成夹角$\theta$的取值范围是
\gap{$\theta\in (0^\circ, 90^\circ]$}


  \ding{173} 直线$l_{1}$与 $l_{2}$的到角$\theta$的取值范围是
\gap{$\theta\in (0^\circ, 180^\circ)$}

  \ding{174} 二面角的平面角$\theta$的取值范围是
\gap{$\theta\in [0^\circ, 180^\circ]$}


  \ding{175} 直线与平面的夹角$\theta$的取值范围
%  \blankline \blankline\textcolor{red}
\gap{$\theta\in [0^\circ, 90^\circ]$}


  \ding{176} 直线倾斜角$\theta$的取值范围是
\gap{$\theta\in [0^\circ, 180^\circ)$}

  \ding{177} 两个非零向量$\vec{\vphantom{A}a}\text{与}\vec{\vphantom{A}b}$夹角$\theta$的取值范围是 \gap{$\theta\in [0^\circ, 180^\circ]$}

\newpage

\item 圆柱侧面展开图是\gap{矩形}

\ding{172}若记底面半径为$r,$ 母线长为$l$, 则$S_{\text{圆柱侧}}=$\gap{$2\pi rl$}

\ding{173}若记圆柱的高为$h$, 底面半径为$r$, 底面面积为$S$, 则圆柱体积$V=$\gap{$\pi r^2h$}=\gap{$Sh$}


\item 圆锥侧面展开图是\gap{扇形}

\ding{172}若记底面半径为$r,$ 母线长为$l$, 则$S_{\text{圆锥侧}}=$\gap{$\pi rl$}

\ding{173}若记圆锥的高为$h$, 底面半径为$r$, 底面面积为$S$, 则圆锥体积$V=$\gap{$\frac{1}{3}\pi r^2h$}=\gap{$\frac{1}{3}Sh$}

\item 圆台侧面展开图是\gap{扇环}

\ding{172} 若记圆台的上、下底面半径分别为$r_{1},\; r_{2}$,  母线长为$l$, 则$S_{\text{圆台侧}}=$\gap{$\pi (r_{1}+ r_{2})l$}

\ding{173}若记圆台的高为$h$, 圆台的上、下底面半径分别为$r_{1},\; r_{2}$, 圆台上下底面面积分别为$S_{\text{上}}, S_{\text{下}}$, 则圆台体积$V=$\gap{$\frac{1}{3}\pi (r_{1}^2+r_{1}r_{2}+r_{2}^2)h$}=\gap{$\frac{1}{3}(S_{\text{上}}+ S_{\text{下}}+\sqrt{S_{\text{上}}S_{\text{下}}})h$}


\item 直棱柱侧面展开图是\gap{矩形}

\ding{172} 若记底面周长为$c$,  高为$h$, 则$S_{\text{直棱柱侧}}=$\gap{$ch$}

\ding{173} 若记棱柱的高为$h$, 棱柱的底面面积为$S$, 则棱柱体积$V=$\gap{$Sh$}

\item 正棱锥侧面展开图是由\gap{全等的等腰三角形}拼接而成

\ding{172} 若记底面周长为$c$,  斜高为$h^{\prime}$, 则$S_{\text{正棱锥侧}}=$\gap{$\frac{1}{2}ch^ {\prime}$}

\ding{173} 若记棱锥的高为$h$, 棱锥的底面面积为$S$, 则棱锥体积$V=$\gap{$\frac{1}{3}Sh$}


\item 正棱台侧面展开图是由\gap{全等的等腰梯形}拼接而成

\ding{172} 若正棱台的上、下底面周长分别为$c_{1}, \; c_{2}$,  斜高为$h^{\prime}$, 则$S_{\text{正棱台侧}}=$\gap{$\frac{1}{2}(c_{1}+c_{2})h^ {\prime}$}

\ding{173} 若记棱台的高为$h$, 棱台的上、下底面面积分别为$S_{\text{上}}, S_{\text{下}}$, 则棱台的体积

$V=$\gap{$\frac{1}{3}(S_{\text{上}}+ S_{\text{下}}+\sqrt{S_{\text{上}}S_{\text{下}}})h$}

\item 用与锥体底面平行的平面截锥体, 小锥体与原锥体的体积比等于\gap{相似比的立方}

\item 球的表面积和体积: 若记球的半径为$R$, 则$S_{\text{球面}}=$\gap{$4\pi R^2$}, $V_{\text{球}}=$\gap{$\frac{4}{3}\pi R^{3}$}


\item 球$O_{1}, O_{2}$的半径分别为$R_{1}, R_{2}$, 则它们表面积之比$\frac{S_{1}} {S_{2}}=$ \gap{$(\frac{R_{1}}{R_{2}})^2$}, 它们体积之比

    $\frac{V_ {1}} {V_{2}}=$ \gap{$(\frac{R_{1}}{R_{2}})^3$}

\item 截距与距离:

\ding{172}若一条直线与$x$轴的交点为$(a, 0)$, 其横坐标$a$叫作\gap{这条直线在$x$轴上的截距};

\gap{横坐标的绝对值, 即$|a|$}称为直线与$x$轴的交点$(a, 0)$到原点的距离.

\ding{173}若一条直线与$y$轴的交点为$(0, b)$, 其纵坐标$b$叫作\gap{这条直线在$y$轴上的截距};

\gap{纵坐标的绝对值, 即$|b|$}称为直线与$y$轴的交点$(0, b)$到原点的距离.

\item 直线的斜率

\ding{172} 倾斜角式(也称定义式): 若$\alpha$为直线的倾斜角, 且$\alpha\neq 90^\circ$, 则直线的斜率$k=$ \gap{$\tan \alpha$}.

\ding{173} 坐标式: 若$P_{1}(x_{1}, y_{1}), P_{2}(x_{2}, y_{2})$为直线上两点, 且$x_{1}\neq x_{2}$), 则该直线的斜率

$k=$\gap{$\frac{y_ {2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$}=\gap{$\frac{y_ {1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}$}.

\item 直线方程的点斜式: 过点$P(x_{0}, y_{0})$, 斜率为$k$的直线方程的点斜式为
\gap{$y-y_{0}=k(x-x_{0})$}

\item 直线方程的斜截式: 斜率为$k$且与$y$轴交点为$(0, b)$的直线方程的斜截式为
\gap{$y=kx+b$}, 倾斜角是$90^{\circ}$的直线没有斜截式.

\item 直线方程的特殊式(与坐标轴垂直):

\ding{172} 如果直线$l$过点$P(x_{0}, y_{0})$且与$x$轴垂直, 此时它的倾斜角为$90^{\circ}$, 斜率不存在, 它的方程不能用点斜式表示, 这时直线方程表示为\gap{$x=x_{0}$}.

\ding{173} 如果直线$l$过点$P(x_{0}, y_{0})$且与$y$轴垂直, 此时它的倾斜角为$0^{\circ}$, 斜率$k=0$, 这时直线方程表示为\gap{$y=y_{0}$}.

\item 直线方程的两点式:

\ding{172} 过点$A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2})$其中$x_{1}\neq x_{2}, y_{1}\neq y_{2}$的两点式方程为\gap{
    $\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$}

\ding{173} \gap{与$x$轴、$y$轴垂直}的直线没有两点式方程.
当$x_{1}=x_{2}$时, 直线方程为\gap{$x=x_{1}$};
当$y_{1}=y_{2}$时, 直线方程为\gap{$y=y_{1}$}.

\item 直线方程的截距式:

\ding{172} 与两坐标轴的交点分别是$P(a,0), \; Q(0, b)$(其中$ab\neq 0$)的截距式方程为\gap{$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$}

\ding{173} 一条直线与$x$轴的交点为$(a,0)$, 其横坐标$a$叫作这条直线在$x$轴上的截距;

\gap{与坐标轴垂直和过原点}的直线均没有截距式.

\ding{174} 截距式方程的形式特征, 即$x$项对应的分母是\gap{横截距},  $y$项对应的分母是\gap{纵截距}, 中间以\gap{“＋”}连接, 等式的另一端是\gap{$1$}

\item 直线方程的一般式:

\ding{172} 定义: 关于$x, \; y$的二元一次方程\gap{$Ax+By+C=0$($A, B$不同时为$0$)}叫作直线方程的一般式. 注意只有当$A, B$不同时为$0$时, 方程$Ax+By+C=0$才能表示直线.

\ding{173} 斜率: 直线$Ax+By+C=0$($A, \; B$不同时为$0$), 当$B\neq 0$时, 其斜率$k=$\gap{$-\frac{A}{B}$}, 在$y$轴上的截距是\gap{$-\frac{C}{B}$}; 当\gap{$B=0, A\neq 0$}时, 这条直线垂直于$x$轴, 没有斜率和纵截距, 在$x$轴上的横截距是\gap{$-\frac{C}{A}$}.


\item 利用斜率判定两条直线的位置关系(注: 适用于斜率存在的情况):

\ding{172} 两条直线平行

$\quad\quad$$(a)$ 两条不重合直线 $l_{1}: y=k_{1} x+b_{1}$ 和 $l_{2}: y=k_{2} x+b_{2}\left(b_{1} \neq b_{2}\right), $ 若 $l_{1} \parallelsum l_{2}$, 则 \gap{$k_{1}=k_{2} ;$} 反之,
若 \gap{$k_{1}=k_{2}$}, 则 $l_{1} \parallelsum l_{2}$.

$\quad\quad$$(b)$ 如果 $l_{1}, l_{2}$ 的斜率都不存在, 那么它们的倾斜角都是 $90^{\circ}$ , 从而它们\gap{互相平行或重合}.


\ding{173} 两条直线垂直

$\quad\quad$一般地, 设直线 $l_{1}: y=k_{1} x+b_{1}$, 直线 $l_{2}: y=k_{2} x+b_{2}$.
若 $l_{1} \perp l_{2}$, 则 \gap{$k_{1} \cdot k_{2}=-1 ;$} 反之,
若 \gap{$k_{1} \cdot k_{2}=-1$}, 则 $l_{1} \perp l_{2}$.
特别地, 对于直线 $l_{1}: x=a$, 直线 $l_{2}: y=b$, 由于\gap{ $l_{1} \perp x$ 轴, $l_{2} \perp y$ 轴}, 所以 $l_{1} \perp l_{2} .$


\item 利用两直线方程的一般式判定两条直线的位置关系(注: 不管斜率是否存在, 都适用):


%\setlength{\parindent}{2em}
$\quad\;$设坐标平面内的两条直线$l_{1}: A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0, \quad l_{2}: A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$, 其中$(A_{1}+B_{1}\neq0, A_{2}+B_{2}\neq0).$

\ding{172} \gap{$l_{1} \parallelsum l_{2}$}$\quad\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}B_{1}C_{2}\neq B_{2}C_{1}, \\ A_{1}B_{2}=A_{2}B_{1}\end{array}\right.$
\quad\quad\quad\ding{173}\quad \gap{$l_{1}, l_{2}\text{重合}$}$\quad\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}B_{1}C_{2}= B_{2}C_{1}, \\ A_{1}B_{2}=A_{2}B_{1}\end{array}\right.$


\ding{174} \gap{$l_{1}, l_{2}\text{相交}$}$\quad\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}B_{1}C_{2}\neq B_{2}C_{1}, \\ A_{1}B_{2}\neq A_{2}B_{1}\end{array}\right.$
\quad\;\;\ding{175}\quad \gap{$l_{1}\perp l_{2}$} $\quad\Leftrightarrow A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0$.

\item 点或直线关于直线的对称问题

\ding{172} 求点关于直线的对称点:

$\quad\quad$设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right), l: A x+B y+C=0\left(A^{2}+B^{2} \neq 0\right)$, 若 $P$ 关于 $l$ 的对称点 $Q$ 的坐标为 $(x, y)$, 则
$l$ 是 $PQ$ 的垂直平分线, 即意味着:

$(1):$ \gap{$PQ \perp l ;$ }

$(2):$ \gap{$PQ $的中点在 $l$ 上.}

则解方程组
$\left\{\begin{array}{l}\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}\left(-\frac{A}{B}\right)=-1, \\ A\cdot\frac{x+x_{0}}{2}+B \cdot \frac{y+y_{0}}{2}+C=0\end{array}\right.$
即可得 $Q$ 点的坐标.

\ding{173} 直线关于直线对称:

$\quad\quad$一般转化为\gap{点关于直线对称}的问题. 在已知直线上任取一点, 求此点关于对称轴的对称点, 对称点必在对称直线上.


\end{enumerate}


\question

\cn{解答题, 每题5分, 共10分}



\begin{enumerate}
\item 求点 $P(3,5)$ 关于直线 $l: x-3 y+2=0$ 的对称点 $P^{\prime}$ 的坐标.

\textcolor[rgb]{0.00,1.00,0.25}{\textbf{解 :}}
设 $P^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 则 $k_{P P^{\prime}}=\frac{y_{0}-5}{x_{0}-3}$ ，
线段 $P P^{\prime}$ 的中点坐标为 $\left(\frac{x_{0}+3}{2}, \frac{y_{0}+5}{2}\right)\therefore$

$\left\{\begin{array}{l}\frac{y_{0}-5}{x_{0}-3} \cdot \frac{1}{3}=-1, \\ \frac{x_{0}+3}{2}-3 \times \frac{y_{0}+5}{2}+2=0,\end{array} \quad\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}x_{0}=5, \\ y_{0}=-1 .\end{array}\right.$
$\therefore$ 点 $P^{\prime}$ 的坐标为 $(5,-1)$.


\item 求直线 $x-2 y-1=0$ 关于直线 $x+y-1=0$ 对称的直线 $l$ 的方程.

\textcolor[rgb]{0.00,1.00,0.25}{\textbf{解 :}}
设 $P(x, y)$ 为所求直线上任一点, 则点 $P$ 关于直线 $x+y-1=0$ 的对称点 $Q\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$
必在直线 $x-2 y-1=0$ 上，即 $x^{\prime}-2 y^{\prime}-1=0$,
由 $\left\{\begin{array}{l}\frac{y^{\prime}-y}{x^{\prime}-x} \cdot(-1)=-1, \\ \frac{x^{\prime}+x}{2}+\frac{y^{\prime}+y}{2}-1=0\end{array} \quad\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=1-y \\ y^{\prime}=1-x\end{array}\right.$
代入 $x^{\prime}-2 y^{\prime}-1=0$,
得 $2 x-y-2=0$

(注 $:$ 也可在 $x-2 y-1=0$ 上取两个点，分别求出它们关于直线 $x+y-1$
$=0$ 的对称点，再由直线方程两点式写出对称直线的方程).
\end{enumerate}


\end{questions}

\textcolor[rgb]{0.00,0.59,0.00}{\textbf{到目前为止本卷已有 }}
\thetotalgapnumber \textcolor[rgb]{0.00,0.59,0.00}{\textbf{个空 }}\par
\end{document} 

搞两个 \newpage 强制换页就好了。