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\documentclass[a4paper,zihao=-4,UTF8]{article}
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\lstset{language=Matlab}
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\renewcommand{\abstractname}{\zihao{3} 摘要\\}
\linespread{1.5}
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\setCJKmainfont {FangSong}
% 设置正文罗马族的CJK字体，影响\rmfamily和\textrm 的字体
\setCJKsansfont {FangSong}
% 设置正文无衬线族的CJK字体，影响\sffamily和\textsf 的字体
\setCJKmonofont {FangSong}
%设置正文等宽族的CJK字体，影响\ttfamily 和 \texttt 的字体
\usepackage[center]{titlesec}
\newfontfamily\sectionef{Times New Roman}
\newCJKfontfamily\sectioncf{FangSong}
%\titleformat*{\section}{\Large\bfseries}
%\titleformat*{\subsection}{\large\bfseries}
% \titleformat{command}[shape]{format}{label}{sep}{before}[after] ,https://www.latexstudio.net/archives/7982.html


\begin{titlepage}
    \title{\fangsong }
    \author{\fangsong }
    \date{\today}
\end{titlepage}
\begin{document}
    \maketitle
    \newpage
    \begin{abstract}
        \par      某公司建筑工地开工，需要从料场配送水泥，具体各个料场的供应方案和选址亟需解决。
        \par  首先，根据供应与选址问题可以划分为规划问题.针对第一问，在给定料场位置的情况下，根据题目所给条件给出\textbf{线性规划模型}，用穷举法遍历所有可能值，最终比较所有值得出最佳运输方案：
        \par 针对问题二，要改建两个新料场，因为要确定确定料场的位置和运送量，在与第一问的同样条件下。将问题二转化为\textbf{非线性规划问题}。采取二次规划的方法，利用$ matlab $的$ fmincon $函数求解，最终的方案为：\\
        
        \textbf{ 关键词}：线性规划模型、非线性规划问题、优化问题
    \end{abstract}
    
    \thispagestyle{empty}
    \newpage
    \pagenumbering{arabic}
    \begin{center}
        \tableofcontents
    \end{center}
    
    \newpage
    \section{问题重述与分析}
   某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置给出。需解决两个问题：\\

   问题一:给定两个日储量20吨临时料场位于A(5,1)，B(2,7)。目标是制定最佳的供应计划即考虑吨千米数在适当方案下最小\\
   问题二 :考虑建立两个新的日存储量为20吨的料场，进一步减少吨千米数
    \par

    \section{基本假设}
    由于本次是规划类问题，便于模型的建立与求解，做出以下假设。
    \par （1）从料场到工地之间均有直线道路连接。
    \par（2）建筑工地水泥用量和料场水泥日存储量均不发生改变。
    \par（3）不考虑运输过程由于道路等因素出现的影响。

    
    \section{符号说明}
    \begin{table}[H]
        \setlength{\abovecaptionskip}{0pt}
            \setlength{\belowcaptionskip}{10pt}
        %     \captionsetup{margin=10pt , font=small,
            %     labelfont=bf, labelsep=period,
            %     skip=5pt    , labelformat=empty}[ 符号一览表} %表一加粗 居中
    \setlength{\tabcolsep}{20mm}{%7可随机设置，调整到适合自己的大小为止
        \caption{符号一览表}
        \begin{tabular}{c | c}
            \hline
            符号    &   \quad 含义 \\
            \rowcolor{black!20}    
        $f$    &    总的吨千米数 \\
            \hline     \rowcolor{black!5}    
                $ x_i$ &     临时料场的横坐标\\
            \rowcolor{black!20}    
            $ x_j$    &  临时料场的横坐标\\
            \rowcolor{black!5}    
        $ a_i $&  工地的横坐标\\
            \rowcolor{black!20}    
                $ b_i $&  工地的纵坐标\\
            \rowcolor{black!5}    
        $ e_j $&  日储量(吨)\\
            \rowcolor{black!20}    
                $ X_{ij} $&  运送量(吨)\\
            \rowcolor{black!5}    
        
        
            \hline
        \end{tabular}
    }
\end{table}


\setcounter{page}{1}

\section{模型的建立与求解}
\subsection{模型的建立}
记工地的位置为$ (a_i，b_i) $，水泥日用量为$ di，i=1,…,6 $;料场位置为$ (x_j，y_j) $，日储量为$e_ j，j=1,2 $；从料场$ j $向工地i的运送量为$ X_{ij} $。则由题目给出的条件给出线性规划模型：
目标函数为
\begin{equation}
    min f=\sum_{j=1}^{2}\sum_{i=1}^{6}X_ij\sqrt{(x_j-a_i)^2+(y_j-b_i)^2}
\end{equation}
约束条件：
\begin{equation}
    s.t.
    \left\{
    \begin{array}    {lr}
        \sum_{j=1}^{2}X_{ij}=d_i,i=1,2,\dots,6\\
        \sum_{j=1}^{2}X_{ij} \leq e_i,i=1,2.\\
        X_{ij}\geq 0,i=1,2,\dots,6,j=1,2.
    \end{array}
    \right.
\end{equation}
\par 同时根据两个问题的条件可设：
\\ 当用临时料场时决策变量为：$ X_{ij} $，
\\当不用临时料场时决策变量为：$ X_{ij} $，$ x_j $，$ y_j $


\subsection{模型的求解}
\subsubsection{使用临时料场的情形}
使用两个临时料场$ A(5,1)，B(2,7) $.求从料场$ j $向工地$ i $的运送量为$ X_{ij} $，在各工地用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的条件下，使总的吨千米数最小，这是线性规划问题. 线性规划模型目标函数:
\begin{equation}
min f=\sum_{j=1}^{2}\sum_{i=1}^{6}X_{ij}aa(i,j)X_{ij}
\end{equation}
约束条件：
\begin{equation}
s.t.
\left\{
\begin{array}{lr}    
    \sum_{j=1}^{2}X_{ij}=d_i,i=1,2,\dots,6\\
    \sum_{j=1}^{2}X_{ij} \leq e_i,i=1,2,\dots,6\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
其中$aa(i,j)=\sqrt{(x_j-a_i)^2+(y_j-b_i)^2},i=1,2,\dots,j=1,2,$为常数
\\ 设 $  X_{11}=X_{1}$
, $ X_{21}= X_{ 2} $, $ X_{31}= X_{3} $
, $ X_{41}= X_{4} $
, $ X_{51}= X_{5} $,$  X_{61}= X_{6} $，
$ X_{12}= X_{7} $
, $ X_{22}= X_{8} $,$  X_{32}= X_{9} $
,$  X_{42}= X_{10} $
, $ X_{52}= X_{11} $, $ X_{62}=X_{12} $
\\使用$ fmincon $函数，求出方案为：
\begin{table}[H]
    \setlength{\tabcolsep}{4mm}{        
        \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
            \hline    \rowcolor{black!20}    
            \quad&1&2&3&4&5&6\\
            \hline
            \makecell{料场A向各工地 \\运送水泥量(吨)}&3.0&5.0&0.0&7.9&0.0&1.0\\
            \hline
                \makecell{料场B向各工地 \\运送水泥量(吨)}&0.0&0.0&4.0&0.0&6.0&10.0\\
            \hline
    \end{tabular}     }

\end{table}
总的吨千米数为138.2815.

\subsubsection{改建两个新料场的情形}
改建两个新料场，要同时确定料场的位置(xj,yj)和运送量$ X_{ij} $，在同样条件下使总吨千米数最小。这是非线性规划问题。
非线性规划模型为：
\begin{equation}
    min f=\sum_{j=1}^{2}\sum_{i=1}^{6}X_{ij}\sqrt{(x_j-a_i)^2+(y_j-b_i)^2}
\end{equation}
约束条件：
\begin{equation}
    s.t.
    \left\{
    \begin{array}{lr}    
        \sum_{j=1}^{2}X_{ij}=d_i,i=1,2,\dots,6\\
        \sum_{j=1}^{2}X_{ij} \leq e_i,i=1,2,\dots,6\\
    \end{array}
    \right.
\end{equation}
设 $ X_11=X_1
, X_21= X_ 2, X_31= X_ 3
, X_41= X _4
, X_51= X_ 5,X_61= X_ 6
X_12= X _7
, X_22= X_ 8,X_32= X_ 9
, X_42= X_10
, X_52= X_11, X_62= X_12
x_1=X_13
, y_1=X_14
, x_2=X_15
, y_2=X_16 $
\par 由于位置未确定，将非线性规划模型建立起来，利用matlab的fmiincon函数对其进行求解。取第一问的料场位置及供应方案作为初值，最终得到求值结果：
\begin{table}[H]
        \setlength{\tabcolsep}{1mm}{
            \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
                \hline     \rowcolor{black!20}    
                \quad&1&2&3&4&5&6\\
                \hline
                \makecell{料场A向各工地 \\运送水泥量(吨)}&2.9308&4.6211&3.8663&6.9324&1.5444&0.0253\\
                \hline
                \makecell{料场B向各工地 \\运送水泥量(吨)}&0.0692&0.3789&0.1337&0.0676&4.556&10.9747\\
                \hline
        \end{tabular}     }
    
\end{table}
新建料场C（5.7419,4.9914）、D（7.2500,7.2500）
总的吨千米数为89.9233.




\subsubsection{改建料场方案的优化}
\par 使用$ matlab $的$ fmincon $函数，可以将第二问求出的料场位置及供应方案作为初值带入进行优化。最终得到结果：

\begin{table}[H]
     \setlength{\tabcolsep}{1mm}{
             \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
             \hline     \rowcolor{black!20}    
             \quad&1&2&3&4&5&6\\
             \hline
             \makecell{料场A向各工地 \\运送水泥量(吨)}&2.9974&4.9865&3.9950&6.9972&1.0196&0.0010\\
             \hline
                 \makecell{料场B向各工地 \\运送水泥量(吨)}&0.0026& 0.0135& 0.0050& 0.0028& 4.9804& 10.9990\\
             \hline
     \end{tabular}     }

\end{table}
新建料场C（5.7419,4.9914）、D（7.2500,7.2500）
总的吨千米数为89.9233.


\section{模型的评价}
优点：可以较好应用实际情况
缺点：未必能求出全局最优解，模型的解法依赖于初值的选取。


\par 缺点：

\begin{thebibliography}{99}
    
    \bibitem{book1}姜启源,谢金星,叶俊, 《数学模型》,高等教育出版社
    
\end{thebibliography}
\begin{appendices}

    \section{附录-matlab代码}
\lstset{language = matlab,
    backgroundcolor = \color{yellow!10}, % 背景色：淡黄
    basicstyle = \small\ttfamily, % 基本样式 + 小号字体
    rulesepcolor= \color{gray}, % 代码块边框颜色
    breaklines = true, % 代码过长则换行
    numbers = left, % 行号在左侧显示
    numberstyle = \small, % 行号字体
    keywordstyle = \color{blue}, % 关键字颜色
    commentstyle =\color{green!100}, % 注释颜色
    stringstyle = \color{red!100}, % 字符串颜色
    frame = shadowbox, % 用(带影子效果)方框框住代码块
    showspaces = false, % 不显示空格
    columns = fixed, % 字间距固定
}
    %\lstinline[extendedchars=false]    
    %escapeinside={} % 特殊自定分隔符：
 \begin{lstlisting}
    第一问：
    模型：
        function f=fun(X)
        a=[1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25];%各工地位置的横坐标；
        b=[1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.25];%各工地位置的纵坐标；
        x1=5*ones(1,6);
        y1=ones(1,6);
        x2=2*ones(1,6);
        y2=7*ones(1,6);
        f=sqrt((x1-a).^2+(y1-b).^2)*[X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6)]'+sqrt((x2-a).^2+(y2-b).^2)*[X(7) X(8) X(9) X(10) X(11) X(12)]';
        %X1,X2,X3,X4,X5,X6为新建料场A（5，1)向各工地运送的水泥吨数；
        %X6.X7.X8.X9.X10,X11,X12为新建料场B(2，7)向各工地运送的水泥吨数；
        求解：
        e1=20;e2=20;%料场水泥日储量
        d=[3 5 4 7 6 11];%各个工地水泥日用量
        x0=ones(12,1);%初值
        A=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1];
        b=[e1;e2];
        Aeq=[1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0;0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1]
        beq=d';
        VLB=zeros(12,1);
        VUB=[d';d'];
        [x,fval]=fmincon('fun',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
        第二问：
        模型：
        function f=fun1(X)
        a=[1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25];%各工地位置的横坐标；
        b=[1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.25];%各工地位置的纵坐标；
        f=X(1)*sqrt((X(13)-a(1))^2+(X(14)-b(1))^2)+X(2)*sqrt((X(13)-a(2))^2+(X(14)-b(2))^2)+X(3)*sqrt((X(13)-a(3))^2+(X(14)-b(3))^2)+X(4)*sqrt((X(13)-a(4))^2+(X(14)-b(4))^2)+X(5)*sqrt((X(13)-a(5))^2+(X(14)-b(5))^2)+X(6)*sqrt((X(13)-a(6))^2+(X(14)-b(6))^2)+X(7)*sqrt((X(15)-a(1))^2+(X(16)-b(1))^2)+X(8)*sqrt((X(15)-a(2))^2+(X(16)-b(2))^2)+X(9)*sqrt((X(15)-a(3))^2+(X(16)-b(3))^2)+X(10)*sqrt((X(15)-a(4))^2+(X(16)-b(4))^2)+X(11)*sqrt((X(15)-a(5))^2+(X(16)-b(5))^2)+X(12)*sqrt((X(15)-a(6))^2+(X(16)-b(6))^2);
        %X1,X2,X3,X4,X5,X6为新建料场A（5，1)向各工地运送的水泥吨数；
        %X6.X7.X8.X9.X10,X11,X12为新建料场B(2，7)向各工地运送的水泥吨数；
        求解：
        e1=20;e2=20;%料场水泥日储量
        d=[3 5 4 7 6 11];%各个工地水泥日用量
        x0=[3 5 0 7 0 1 0 0 4 0 6 10 5 1 2 7];%初值取（1）的结果和临时料场的坐标
        A=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0];
        b=[e1;e2];
        Aeq=[1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0];
        beq=d';
        VLB=zeros(16,1);
        VUB=[];
        [x,fval]=fmincon('fun1',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
        x1=[2.9308 4.6211 3.8663 6.9324 1.5444 0.0253 0.0692 0.3789 0.1337 0.0676 4.4556 10.9747 5.7419 4.9914 7.2500 7.2500]%初值取的是上面计算结果
        [y,fvaly]=fmincon('fun1',x1,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
    \end{lstlisting}
\end{appendices}
\end{document}