一个可能的答案是：

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,mathrsfs}
\usepackage{nicematrix}
\usepackage{tikz}
\newcommand*{\BB}[1][]{\mathscr{B}^{#1}}
\begin{document}
    \[ 
        \begin{NiceMatrix}[create-medium-nodes]
            \phantom{0} & \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_t & \phantom{0}  \\
            \phantom{0} & \BB \alpha_1 & \BB \alpha_2 & \cdots & \BB \alpha_t & \phantom{0} \\
            \phantom{0} & \BB[2] \alpha_1 & \BB[2] \alpha_2 & \cdots & \BB[2] \alpha_t &\phantom{0}  \\
            \phantom{0} & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\phantom{0}  \\
            \phantom{0} & \BB[k_1-1] \alpha_1 & \BB[k_2-1] \alpha_2 & \cdots & \BB[k_n-1] \alpha_t &\phantom{0}  \\
            \phantom{0} & \BB[k_1] \alpha_1 & \BB[k_2] \alpha_2 & \cdots & \BB[k_n] \alpha_t & \phantom{0} \\
        \CodeAfter
            \tikz[name suffix=-medium]{
                \draw[cyan,dashed] (1-2.north west) rectangle (5-5.south east);
                \draw[magenta!60] (2-1.north west) rectangle (6-6.south east);
            }
        \end{NiceMatrix}
    \]
\end{document}

-------------------------补充回答-------------------------

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,mathrsfs}
\usepackage{nicematrix}
\usepackage{tikz}
\newcommand*{\BB}[1][]{\mathscr{B}^{#1}}
\begin{document}
    \[ 
        \begin{NiceMatrix}[create-medium-nodes]
            \phantom{1} & \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_t & \phantom{1}  \\
            \phantom{1} & \BB \alpha_1 & \BB \alpha_2 & \cdots & \BB \alpha_t & \phantom{1} \\
            \phantom{1} & \BB[2] \alpha_1 & \BB[2] \alpha_2 & \cdots & \BB[2] \alpha_t &\phantom{1}  \\
            \phantom{1} & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\phantom{1}  \\
            \phantom{1} & \BB[k_1-1] \alpha_1 & \BB[k_2-1] \alpha_2 & \cdots & \BB[k_n-1] \alpha_t &\phantom{1}  \\
            \phantom{1} & \BB[k_1] \alpha_1 & \BB[k_2] \alpha_2 & \cdots & \BB[k_n] \alpha_t & \phantom{1} & \alpha_{t+1} & \cdots & \alpha_s \\
        \CodeAfter
            \tikz[name suffix=-medium]{
                \draw[cyan,dashed] (1-2.north west) rectangle (5-5.south east);
                \draw[magenta!60] (2-1.north west) rectangle (6-6.south east);
            }
        \end{NiceMatrix}
    \]
\end{document}

TikZ的技巧性实在是太强了，我还有很长的路要走（落泪）

非常感谢外国网友的帮助，但我微调了一下，感觉下面的代码还是有些"不优雅"的问题（哎）

另外，请你查看围栏代码块语法，学会讲代码放到代码块里，以便他们正确的高亮。 (Un)Happy TikZing!

\documentclass[border=10pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
    \begin{tikzpicture}[rotate=120,]% rotate=120
    \foreach \i [
      count=\j from -1, % trick to start from -1
      evaluate=\i as \invi using int(11-\i),
      evaluate=\j as \invj using int(11-\j),
    ] in {0,...,11} {
        \node[
          fill, circle, 
          inner sep=1pt, outer sep=3pt,
          label={
            [inner sep=0pt, minimum width=.5em,] % <angle:label-text>
            {360/12*(\i-1/2)+120}:{\footnotesize $a_{1,\invi}$}
          }
        ] (a\i) at ({360/12*(\i-1/2)}:2.5) {};
        \ifnum\i=0\else
            \draw[<-] (a\i) -- node[inner sep=0pt, circle, label={
                [circle, inner sep=0pt]{360/12*(\i-1)+120}:{\footnotesize$\alpha_{1,\invj}$}
            }] {} (a\j);
        \fi
    }
    \draw[<-] (a0) -- node[
      inner sep=0pt, circle,
      label={
        [circle, inner sep=0pt, swap]
        {-360/12+120}:{\footnotesize$\alpha_{1,0}$}
    }] {} (a11);
    \end{tikzpicture}
\end{document}

为什么不提供最小工作示例?
告诉我，为什么！！！！

目测你是使用的行内公式的大小

% This document is compiled using xeLaTeX
\documentclass{ctexart}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\[
    \because 6+t = 
\]
\[ 
    \therefore \text{救生圈}
\]
\[
    {\textstyle \because} 6+t = 
\]
\[ 
    {\textstyle \therefore} \text{救生圈}
\]
\[
    {\scriptstyle \because} 6+t = 
\]
\[ 
    {\scriptstyle \therefore} \text{救生圈}
\]
\[
    {\scriptscriptstyle \because} 6+t = 
\]
\[ 
    {\scriptscriptstyle \therefore} \text{救生圈}
\]
\end{document}

感谢@u79794 和 TSE上的beamer高手samcarter_is_at_topanswers.xyz
可以考虑使用picture或者tikzpicture环境来定位图片位置，如下代码

\documentclass{beamer}
\usetheme{AnnArbor}
\usepackage[12pt]{ctex}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
    \begin{frame}{Title}
        contents ...
    \end{frame}
    % 设置当前 frame 的背景图片
    \setbeamertemplate{background}{%
        % \begin{picture}(200,250) % <- bad solution to adjust by yrself
        %     \includegraphics[width=\paperwidth,height=.3\paperheight]{example-image}
        % \end{picture}
        \begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
            % maybe a better solution to position the image
            \node[yshift=6em] at (current page.south) {\includegraphics[width=\paperwidth,height=.3\paperheight]{example-image}};
        \end{tikzpicture}
    }
    \begin{frame}
        \begin{center}
            {\LARGE Thanks for your attention!}
        \end{center}
    \end{frame}
    % 重置背景模板
    \setbeamertemplate{background}{}
    \begin{frame}
        \begin{center}
            {\LARGE Thanks for your attention!}
        \end{center}
    \end{frame}
\end{document}

这就是LaTeX浮动体的特色，不要尝试去固定"浮动"的图片/表格的位置，在行文中避免使用上图,下表等方式来指代，而改用图3.1,表1-2的方式来指代。

同时，强烈不建议使用float宏包的H参数来实现，有可能出现出乎意料的排版结果。使用LaTeX,就应该接纳他这种"浮动"的特色。在我看来，需要改变的应该是使用LaTeX排版的你对图片/表格位置应该"固定"的看法。

另外，你的MWE代码不规范。请参照下图。

在lshort-zh-cn中对文档结构有如下的说明：

你的MWE中，你想要编号的部分都被放置在了\frontmatter之后而\mainmatter之间，此时属于前言部分，不计入文章正文，因此会出现0.1,0.3.1的情况；
另外，你的MWE不规范，你使用了elegantbook模板，因此必须在相同目录下放置elegantbook.cls文件才行，而你提供的压缩包中仅有总笔记.tex文件,这违背了MWE中在别人的电脑上直接编译即可复现你的问题的原则，另外你的鸽子.png也并未提供，还需要复习一下MWE的定义，争取下次规范提问。

另，强烈建议在使用模板之前认真学习一下上面提到的lshort-zh-cn文档，对于入门非常有帮助。

下面是MWE，只要更改\mainmatter的位置即可：

\documentclass[lang=cn,newtx,10pt,scheme=chinese,titlestyle=hang]{elegantbook}
\title{大学期间笔记}
\author{cql}
\date{\today}
\version{1.0}

\extrainfo{别问为什么用英文，问就是锻炼自己}
% \cover{鸽子.jpg}

\definecolor{structurecolor}{RGB}{0,0,0}
\definecolor{main}{RGB}{70,70,70}

\definecolor{second}{RGB}{115,45,2}
\definecolor{third}{RGB}{0,80,80}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{extarrows}

\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{tikz-cd}
\usetikzlibrary{cd}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{multicol} %导入multicols包
\usepackage{CJKfntef}
\usepackage{rotating}         %用于旋转对象（旋转包）
\usepackage{color}
\usepackage{hyperref}

\usepackage{ctex}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{comment}
\usepackage{array}
%\usepackage{tasks}
\usepackage{tikz} 
\usetikzlibrary{positioning}
\setcounter{tocdepth}{3}
\usepackage{fancyhdr}

\begin{document}
    \frontmatter
    \maketitle
    
    \mainmatter
    \tableofcontents
    \chapter{Analysis}
    
    \section{Mathmatical Anlysis}
    \subsection{Fundamental Theorem of Real Number System}
    \subsection{Univariate differential calculus}
    \subsubsection{Differentaable definition}
    \section{Real Analysis}
    \section{Complex Analysis}
    \subsection{Basic properties of complex numbers}
    \section{Function Analysis}
    \section{Fourier Analysis}
    
    \chapter{Algebar}
    \section{Advanced Algebra}
    \subsection{matrix}
    \section{Abstract Algebra}
    \section{Repersentation Theory}
    \section{Commutative Algebra}
    \section{Lie Algebra}
    \section{Homological Algebra}
    
    \chapter{Topology}
    
    \chapter{Differential Equation}
    \section{Ordinary Differential Equation}
    \section{Partial Differential Equation}
    
    \chapter{Geometry}
    
    \chapter{Probability and Statistics}
\end{document}

按照惯例自答一下，非常感谢@Eureka 和@u19850 的倾情帮助。

首先分析下错因：
对于CASEA的写法，是使用自行在外部使用\keys_set:nn {<module>}{options}的方式定义默认值，实际上这等价于在\keys_define:nn内部使用<key>.initial定义其赋值方式，这两种做法均会给option赋值初始值；
对于CASEB的写法，是使用<key>.code:n会接受名为#1的由<key>.default定义的初始值<value>,并执行code的内容；但<key>.default:n方法定义的default值仅仅是在value缺失时的默认值，如果option不被指定是不会被赋值的。

下面附interface3中对这两个函数的介绍原文：

⟨key⟩ .default:n = {⟨default⟩}
Creates a ⟨default⟩ value for ⟨key⟩, which is used if no value is given. This will be used if only the key name is given, but not if a blank ⟨value⟩ is given.

key .default:n = xxx, 是 value 缺失时的默认值
例如 key .default:n = xxx,那么\keys_set:nn {mew}{key} 等价于\keys_set:nn {mew}{key = xxx}

⟨key⟩ .initial:n = {⟨value⟩}
Initialises the ⟨key⟩ with the ⟨value⟩, equivalent to \keys_set:nn {⟨module⟩} { ⟨key⟩ = ⟨value⟩ }

key .initial:n = xxx, 等价于执行了 \keys_set:nn{mwe}{key = xxx}

鱼老师随便一句话就是标准的文档啊，无敌了！

作为一名learner，自然要分析下为什么上面的代码都不得行：

对于CASEA：

• 第28行的\cmd{Explorer}输出了\l_mwe_opa_tl以及\l_mwe_opb_tl的默认值，因此首先输出了正常的结果。
• 第29行的\cmd[opa=opa,opb=opb]{Explorer}进入了\IfNoValueF的条件逻辑中，此时(\l_mwe_opa_tl,\l_mwe_opb_tl)=(opa,opb),同时正常输出(opa,opb,Explorer)的内容
• 第30行的\cmd[opa=opa]只是制定了赋值\l_mwe_opa_tl=opa,但由于\l_mwe_opa_tl在上一个判断中已经被永久地赋值为了opb,因此后文中并未将其恢复为defaultb.(第31行同理)

此时已经不难发现是一个变量作用域的问题，可以在自定义的命令\cmd内使用\begin_group:以及\end_group:。事实上鱼老师再次一阵见血地指出：

"这种一般都要加group限制"

对于CASEA,此时只要加上限制，则可以解决上述问题。

而对于CASEB，可以如上分析：

• 第21行的\cmd{Explorer}没有指定opa和opb，因此 此时default值不会被赋值给key,code的内容也不会输出，因此只输出了必须参数Explorer
• 第22行制定了opa=opa,opb=opb,default值赋值之后被用于的opa=opa覆盖，因此输出了(opa,opb,Explorer)
• 第23行指定了opa=opa,此时opa经历了先被赋值为defaulta之后被用户选项覆盖为opa,而opb并未被invoked,因此只输出了(opa,Explorer);第24行同理只输出了(opb,Explorer).

更改方式类似，加上group后，用指定option而不赋值的方式调用，如下图：

暂时的最后（其实还要测试下雾月给出的lttemplates方法），最后一下Eureka老师给出的一段代码（结合了CASEA与CASEB的做法）：

本来还想分析的，凡是如果你有耐心看完上面一大段的话，是显然可以实现要求的。

自己给一个基于kayval的解答。

\documentclass[12pt]{ctexart}
\usepackage[margin=1in]{geometry}
\setlength{\parindent}{0pt}
\usepackage{keyval}
\makeatletter
\def\mwe@vala{defaulta}
\define@key{mwe}{opa}{\def\mwe@vala{#1}}
\def\mwe@valb{defaultb}
\define@key{mwe}{opb}{\def\mwe@valb{#1}}
\newcommand\foo[2][]{
    \begingroup
    \setkeys{mwe}{#1}%
    The opa is: \mwe@vala. \par
    The opb is: \mwe@valb. \par
    The Parameter is: #2. \par
    \endgroup
}
\makeatother
\begin{document}
    \foo{Explorer}

    \foo[opa=opa,opb=opb]{Explorer}

    \foo[opb=opb]{Explorer}

    \foo[opa=opa]{Explorer}
\end{document}

请提供文本形式的代码，并用围栏代码块包裹，以方便调试。
另外，请你同步提供的learnlatex.bib文件，以便可以让潜在的回答者一下载/复制就可以编译。

另附有关文档内容，你是否使用pdflatex-pdflatex-bibtex-pdflatex方法编译？

使用\c_colon_str替换即可，参考链接

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\ExplSyntaxOn
\fp_new:N \l__skyrmion_rotate_fp
\fp_set:Nn \l__skyrmion_rotate_fp {30}
\cs_new_protected_nopar:Nn \l__skyrmion_tmp_cs:
  {
    \draw (0,0) -- (1,1)
     node [ rotate~around = { \fp_use:N \l__skyrmion_rotate_fp \c_colon_str (0,0) } ] {test};
  }
\ExplSyntaxOff
\begin{document}
\ExplSyntaxOn
\tikz { \l__skyrmion_tmp_cs: }
\ExplSyntaxOff
\end{document}

白嫖快乐~

请提供你的LaTeX代码，而不只是一个word截图，论坛的作用是帮助你修改你的代码，而不是像接单一样替你实现你的排版效果。

请展示你使用tabularray宏包进行的尝试以及效果（体现你的付出和工作量），并提供规范的MWE。

在你的代码中涉及@的内容前后加上\makeatletter和\makeatother,以处理@的catcode的问题

\documentclass[openany]{book}
\usepackage{geometry}
\geometry{
    papersize={10.5cm,14.85cm},
    %showframe,
    margin=1cm,
    }
\makeatletter
\renewcommand{\part}{%
  \if@openright
    \cleardoublepage
  \else
    \clearpage
  \fi
  \thispagestyle{empty}%
  \if@twocolumn
    \onecolumn
    \@tempswatrue
  \else
    \@tempswafalse
  \fi
  \null\vfil
  \secdef\@part\@spart}
\makeatother
\begin{document}
    \setlength{\parindent}{2em}
    \title{title}
    \author{author}
    \date{date}
    \maketitle
    \tableofcontents
    \part{}
    \chapter{}
    Hello\TeX{}!
    \part{}
    \chapter{}
    Hello\TeX{}!
\end{document}

另一种等价的更优雅的是使用\patchcmd:

\usepackage{etoolbox}%
\patchcmd{\part}{\thispagestyle{plain}}{\thispagestyle{empty}}{}{}

我是不懂这个代码的，both 数学原理 and LaTeX Tikz实现
我只是个轮子的搬运工

参考(copy)自下面的链接John Kormylo‘s brilliant solution on TSE

\documentclass[tikz,border=2pt]{standalone}
\usetikzlibrary{calc,intersections}
\newlength{\bigenough}
\newcount\total
% locates both points on a closed shape tangent to a point outside the shape.
% \tangent{pathname}{center}{point}{first}{second}
\newcommand{\tangent}[5]% #1=path name for shape, #2=coordinate name for center, #3=cordinate name for outside point
{\begingroup% #4=coordinate name for first tangent point, #5=coordinate name for second coordinate point
\setlength{\bigenough}{1cm}
\loop% loop until big enough
  \path[name path=temp]  ($(#2)!\bigenough!-90:(#3)$)--($(#2)!\bigenough!90:(#3)$);
  \path[name intersections={of = #1 and temp, total=\t}]%
    \pgfextra{\global\total=\t};%
  \ifnum\total<2 \global\bigenough=2\bigenough\repeat%
\endgroup
\coordinate (#4) at (intersection-1);% initial guess
\coordinate (#5) at (intersection-2);%
\tangentsearch{#1}{#2}{#3}{#4}%
\tangentsearch{#1}{#2}{#3}{#5}}

% find tangent using binary search
\newcommand{\tangentsearch}[4]% #1=path name for shape, #2=coordinate name for center, #3=cordinate name for outside point
{\begingroup% #4=coordinate name for tangent point (initail guess -> final)
\loop% loop until only 1 intersection
  \path[name path=temp] (#3)--($(#4)!-\bigenough!(#3)$);
  \path[name intersections={of = #1 and temp, total=\t}]%
    \pgfextra{\global\total=\t};%
\ifnum\total=2 \coordinate (#4) at ($(intersection-1)!0.5!(intersection-2)$);
  %\draw[pink] (intersection-1)--(intersection-2);% included only for debugging purposes
  \path[name path=temp] (#4)--($(#4)!-\bigenough!(#2)$);
  \path[name intersections={of = #1 and temp}];%
  \coordinate (#4) at (intersection-1);%
  \repeat%
\endgroup}

\begin{document}
    \begin{tikzpicture}
        \draw [gray!70] (-4,-4) grid (4,4);
        \draw [->] (-4,0) -- (4,0) node [below left] {$x$};
        \draw [->] (0,-4) -- (0,4) node [below left] {$y$};
        \draw[name path=ellipse,thick,fill=gray!30,opacity=0.5] (0,0) ellipse (2 and 1);
        % \draw [thick] (2,0) arc (0:360:2 and 1);
        %\coordinate (O) at (0,0);
        %\node at (O) [below left] {$O$};
        %这里可以缩行
        \coordinate[label={below left:$O$}] (O);
        % \coordinate (P) at (1,2);
        % \fill (P) at (1,2) circle (1pt) node [above right] {$P$};
        %这里也可以缩行
        \node[label={above right:$P$},circle, fill, inner sep=1pt] (P) at (1,2) {};
        \tangent{ellipse}{O}{P}{X}{Y}
        \draw (X)--(P)--(Y);
    \end{tikzpicture}
\end{document}

不得不再次强调你的提问仍然存在一些可以改进的地方：

1. 标签不要放一些奇奇怪怪的东西，你这里的标签完全可以是profcollege,而不是我想要图片中的这种效果,为啥代码输出的只有MP字母呢....提醒好多遍了；
2. 代码请用markdown代码块的样式，展示文本形式的MWE,以最大化方便别人调试你的代码

由于我的lualatex还没整好，我决定拾人牙慧 @u79794 ，补充一下这个回答。

根据profcollege文档内容可见，你所用代码需使用lualatex引擎编译。

@u79794 老师的编译结果如下：

虽然我不太了解tikz-3d这个包，但参照文档内容（如下图）略加修改一下视线的夹角 theta 和 phi可以实现类似效果：

下面是mwe和效果：

\documentclass[tikz,border=1cm]{standalone}
\usepackage{tikz-3dplot}
% \usetikzlibrary{calc}
% \usetikzlibrary{3d}
\begin{document}
\tdplotsetmaincoords{70}{120}
\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords]
\draw[->,red] (0,0,0) -- (1,0,0) node[anchor=north east]{$x$};
\draw[->,green] (0,0,0) -- (0,1,0) node[anchor=north west]{$y$};
\draw[->,blue] (0,0,0) -- (0,0,1) node[anchor=south]{$z$};
\end{tikzpicture}
\end{document}