预期的目标效果是什么呢？

这个图中的c是一个node，圆周是node的边界，而你代码中：

\coordinate[label=left:$C$](C)at(2,1);
\draw[red](C)circle(2);
\draw(P)--(tangent cs:node=C,point={(P)},solution=1)--(C.center)--cycle;

圆周是一个path，你用tangent cs绘制的是对coordinate点C的切线，而点是没有半径的，所以重合了...

BTW,下面这些包只有calc和你的问题有关。

\usetikzlibrary{
    % math,
    calc,
    % intersections,
    % through,
    % angles,
    arrows.meta,
    % shapes.geometric,
    % shadows,
    % quotes,
    % spy,
    % datavisualization,
    % datavisualization.formats.functions,
    % plotmarks
}

需要注意的是：

LaTeX2e内核中定义的\cases和amsmath宏包重定义的cases环境并不相同。

\documentclass{article}
\begin{document}
\[
|x|=\cases{x,&if $x\ge0$;\cr 
-x,&otherwise.\cr}
\]
\end{document}

重点要转到关注amsmath.dtx中的有关定义：

% line 2604~2614
\renewenvironment{cases}{%
  \matrix@check\cases\env@cases
}{%
  \endarray\right.%
}
\def\env@cases{%
  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
  \left\lbrace
  \def\arraystretch{1.2}%
  \array{@{}l@{\quad}l@{}}%
}

cases环境本质是是一个带\lbrace的array环境，与\jot并无关系

所以...似乎patch一下\arraystretch即可实现第二个需求：

\documentclass{ctexart}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\makeatletter
\def\env@cases{%
  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
  \left\lbrace
  \def\arraystretch{2.5}%
  \array{@{}l@{\quad}l@{}}%
}
\makeatother
\begin{document}
\[
\begin{cases}
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} \neq \dfrac{3}{3} \\
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} = \dfrac{3}{3}
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} \neq \dfrac{3}{3} \\
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} = \dfrac{3}{3}
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} \neq \dfrac{3}{3} \\
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} = \dfrac{3}{3}
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} \neq \dfrac{3}{3} \\
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} = \dfrac{3}{3}
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} \neq \dfrac{3}{3} \\
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} = \dfrac{3}{3}
\end{cases}
\]
\end{document}

嗯...效果并不是很好...

可以利用fgruler宏包给PDF加上标尺

%%使用paracol环境，可以发现文字高度没有变化
%%不使用paracol环境，文字高度变化

文字高度变化是什么意思(?)是和什么做对比的(?) 可否补充详细的对比图示....

\documentclass[
    oneside, % 让页面左右对称
    openany, % 去掉偶数面的空白页
]{book}
\usepackage{lipsum}
\usepackage[type=upperleft]{fgruler}
\usepackage[showframe]{geometry}
\usepackage{paracol}
\newcommand{\Chapter}[1]{%
\chapter{#1}%
\enlargethispage{-2.0cm}
}
\begin{document}
    %%使用paracol环境，可以发现文字高度没有变化
    \Chapter{title}
    \begin{paracol}{2}
        \lipsum[1-2]
    \end{paracol}
    %%不使用paracol环境，文字高度变化
    \Chapter{title}
    \lipsum[1-3]
\end{document}

改不动了....一定不会有后续了...Happy LaTeX3!

我食言了。

我还是觉得作为一名开发者，不能对latex3在七窍通了六窍的情况下就开始造轮子

过分使用AI只会陷入vibe coding这种「复制链接大脑，粘贴代替思考」的境地，事实上，对于\keys_value:nn查无此命令的幻觉应该是很容易通过texdoc interface3发觉的。

我删掉了大部分注释，也不打算做介绍了...

Claim:我没太注意ai给的tikz绘制细节，只是把l3keys的错误用法做了修改...

如果我没理解错.meta:n创建的是「元键」是用来创建多层级键值对的，也并不是「定义短名称作为别名，方便用户调用」，这 似乎 又是一个幻觉...

当一些错误混杂在基本正确的逻辑中，挺难debug的，遇到这种情况还是应该自己从最简单的「l3keys」例子开始，一步步测试，不要每次复制粘贴上百行代码...

• 先实现tikz的绘图逻辑
• 再学会如何用l3keys控制键值对
• 最后封装tikzhl命令

一个不基于.initial:n的做法如下：

\documentclass{ctexart}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\ExplSyntaxOn
\tl_new:N \l_tikzhl_highlight_color_tl
\tl_new:N \l_tikzhl_underline_thickness_tl
\tl_new:N \l_tikzhl_underline_color_tl
\tl_new:N \l_tikzhl_corner_radius_tl
\dim_new:N \l_tikzhl_padding_dim
\dim_new:N \l_tikzhl_underline_offset_dim
\keys_define:nn { tikzhl } {
  hlcolor .tl_set:N = \l_tikzhl_highlight_color_tl,
  ulcolor .tl_set:N =\l_tikzhl_underline_color_tl,
  thickness .tl_set:N = \l_tikzhl_underline_thickness_tl,
  radius .tl_set:N = \l_tikzhl_corner_radius_tl,
}
\keys_set:nn { tikzhl } {
  hlcolor = yellow!30,
  ulcolor= blue,      
  thickness = 1.5pt,
  radius = 0pt,
}
\NewDocumentCommand{\tikzhl}{ O{} m }{%
  \tikz[baseline=(current~bounding~box.base)]{
    % 设置内部维度变量的值。
    \dim_set:Nn \l_tikzhl_padding_dim { 1pt }% 文本与高亮框的内边距
    \dim_set:Nn \l_tikzhl_underline_offset_dim { 1pt }% 下划线距离文本的垂直偏移
    \keys_set:nn { tikzhl } { #1 }
    % 1. 绘制文本节点，并应用高亮背景和圆角。
    \node[
      inner~sep=\l_tikzhl_padding_dim,
      fill=\l_tikzhl_highlight_color_tl,
      text=black,
      anchor=base,
      rounded~corners=\l_tikzhl_corner_radius_tl,
    ] (textnode) {#2};% 节点内容为 #2 (强制参数)
    % 2. 绘制加粗下划线。
    \draw[
      draw=\l_tikzhl_underline_color_tl,
      line~width=\l_tikzhl_underline_thickness_tl
     ] ($(textnode.south~west) + (0,-\dim_use:N \l_tikzhl_underline_offset_dim)$) 
    -- ($(textnode.south~east) + (0,-\dim_use:N \l_tikzhl_underline_offset_dim)$);
  }%
}
\ExplSyntaxOff

\begin{document}

这是一个示例文本，其中包含一些 \tikzhl{需要高亮} 的内容。
你可以看到它和周围的文本在同一行，并且带有加粗的下划线。

% --- 正确的调用方式示例 (使用键值对) ---

% 1. 仅改变高亮背景颜色
\tikzhl[hlcolor=green!20]{这是绿色高亮}。

% 2. 仅改变下划线粗细
\tikzhl[thickness=2pt]{这是粗下划线}。

% 3. 仅改变下划线颜色
\tikzhl[ulcolor=red]{这是红色下划线}。

% 4. 设置圆角半径
\tikzhl[radius=3pt]{这个是圆角高亮}。

% 5. 组合使用：紫色高亮，3pt下划线，紫色下划线，3pt圆角
\tikzhl[hlcolor=violet!20, thickness=3pt, ulcolor=purple, radius=3pt]{复杂组合示例}。

% 6. 所有参数都使用默认值
默认样式：\tikzhl{默认样式}。

\end{document}

希望下次不要直接把ai的代码丢上来，要注意到这个问题其实不是集中在一个关键点上，而是泛泛而谈「但是无法运行，有很多报错，请问是什么原因？」，后来者看到这个页面的时候很难反应过来这是在「改l3keys的不正确语法」。

请问是否可以增加绘制外部框线的属性，包括可以调节外部框线的粗细，圆角和颜色？

没看太明白，上面好像已经实现了控制(?)...tikz您是高手，应该可以自己搞定...

这个问题太长了，目测OP在原问题上花的时间和精力并不多。

没有细看，但是AI在一个如此庞大的和精细的需求里是不给力的

但是无法运行，有很多报错

那理应贴出来报错信息。

side-notes:

\usepackage{xcolor} % 用于定义颜色
\usepackage{xparse} % 用于定义带有可选参数和默认值的命令

这两行都是不需要的，tikz内部调用了xcolor；且xparse早已进入内核，因此都不需要显式调用。

第一个报错是：

! Undefined control sequence.
<argument> ..._highlight_color_tl {\keys_value:nn
                                                  {tikzhl}{highlight-color}}
l.91 ...其中包含一些 \tikzhl{需要高亮}
                                                   的内容。
?

很显然，在interface3.pdf中并不能搜索到\keys_value:nn这个API...

\tl_set:Nx \l_tikzhl_highlight_color_tl { \keys_value:nn { tikzhl } { highlight-color } }
\tl_set:Nx \l_tikzhl_underline_thickness_tl { \keys_value:nn { tikzhl } { underline-thickness } }
\tl_set:Nx \l_tikzhl_underline_color_tl { \keys_value:nn { tikzhl } { underline-color } }
\tl_set:Nx \l_tikzhl_corner_radius_tl { \keys_value:nn { tikzhl } { corner-radius } }

上面几行都显然是是错的...

一般来说，l3keys里类似的需求也许会这么写:

\keys_define:nn { foo / blockstyle } {
    bordercolor .tl_set:N = \l_foo_border_color_tl,
    backgroundcolor .tl_set:N = \l_foo_background_color_tl,
    textcolor .tl_set:N = \l_foo_text_color_tl,
    textstyle .tl_set:N = \l_foo_text_style_tl,
}

但这基本上要重写代码，而且需要别人先理解你的原始需求，再理解ai的实现过程，我不喜欢读ai生产的垃圾....

第二个错误：

! Package pgfkeys Error: I do not know the key '/tikz/innersep', to which you p
assed '\dim_use:N \l_tikzhl_padding_dim ', and I am going to ignore it. Perhaps
 you misspelled it.

See the pgfkeys package documentation for explanation.
Type  H <return>  for immediate help.
 ...

l.91 ...其中包含一些 \tikzhl{需要高亮}
                                                   的内容。
?

另一个很显然的问题是，在\ExplSyntaxOn/Off对里，空格均会被忽略，因此带空格的rounded corners和line width都应该加上~.....

改不动了....一定不会有后续了...Happy LaTeX3!

此事在lshort中亦有记载

0.你原先的代码还是有大量和问题无关的内容，他们理应被删去，不要给别人增加代码阅读量！！:

\usepackage{tabularx}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{caption}
\usepackage{float}
\usepackage{cases}
\usepackage[font={small,rm}]{caption}
\DeclareGraphicsRule{.jpg}{eps}{.bb}{}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{corollary}{Corollary}
\newtheorem{definition}{Definition}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\newtheorem{proposition}{Proposition}
\newtheorem{algorithm}{Algorithm}
\newtheorem{assumption}{Assumption}
\newtheorem{remark}{Remark}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\allowdisplaybreaks

1.加上\nonumber就可以去掉编号
2.我在最后一行加上了\quad，让末两行看上去是「同一个公式（折行）」

\documentclass[twocolumn]{IEEEtran}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{empheq}
\begin{document}
\begin{subequations}
\begin{empheq}
[left={\textbf{OP1}:\empheqlbrace}]{align}
&\underset{u}{\min}~ \psi\\
&\mathrm{s.t.}~~J_{\infty}(s) \leq \psi\\
&\underset{p}{\max}\left|\left[u(s)\right]_p\right|\leq \bar{u}, \\
&\underset{q}{\max}\left|\left[x(s+1|s)\right]_q\right|\leq \bar{x},\\                                     
& \mathscr{E}\{V(\phi(s))\}-V(\phi(s))\\
& \quad \leq  -z^{\mathrm{T}}(s)z(s)+\rho d^{\mathrm{T}}(s)d(s). \nonumber
\end{empheq}
\end{subequations}
\end{document}

Edit：

感觉这样更好看...

换行后又多增加一个标号1f（其实是一个公式），需要如何去掉1f呢?

表意不明，差评！

\documentclass[twocolumn]{IEEEtran}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{empheq}
\begin{document}
\begin{subequations}
\begin{empheq}
[left={\textbf{OP1}:\empheqlbrace}]{align}
&\underset{u}{\min}~ \psi\\
&\mathrm{s.t.}~~J_{\infty}(s) \leq \psi\\
&\underset{p}{\max}\left|\left[u(s)\right]_p\right|\leq \bar{u}, \\
&\underset{q}{\max}\left|\left[x(s+1|s)\right]_q\right|\leq \bar{x},\\                                     
& \mathscr{E}\{V(\phi(s))\}-V(\phi(s))\nonumber\\
& \qquad \leq  -z^{\mathrm{T}}(s)z(s)+\rho d^{\mathrm{T}}(s)d(s). 
\end{empheq}
\end{subequations}
\end{document}

需求(a) 不希望「同解，求值」出现在第二栏，改用\vspace而不是\vspace*即可：

\documentclass[twocolumn,12pt]{ctexart}
\usepackage{showframe}
\usepackage[type=lowerleft]{fgruler}
\usepackage[paperwidth=42cm,paperheight=29.7cm,top=3cm,bottom=1cm,left=1.7cm,right=1.7cm,bindingoffset=0.5cm]{geometry}
\setlength{\columnsep}{35pt}%设置两栏之间的间距
\raggedbottom
\begin{document}
        (1) *********************  
        \vspace*{8cm}

        (2) ********************* 
        \vspace*{8cm}
        
        (3) 已知齐次线性方程组  
        \[
        *******************
        \]  
        同解,求 $a,b,c$ 的值.
        \vspace{8cm}
        
        (4) 已知齐次线性方程组 
\end{document}

需求(b) 希望得到可跨行的\vspace:

参考链接: https://tex.stackexchange.com/questions/601243/vspace-at-the-end-of-a-page

方法一：

\documentclass[twocolumn,12pt]{ctexart}
\usepackage{showframe}
\usepackage[type=lowerleft]{fgruler}
\usepackage[paperwidth=42cm,paperheight=29.7cm,top=3cm,bottom=1cm,left=1.7cm,right=1.7cm,bindingoffset=0.5cm]{geometry}
\setlength{\columnsep}{35pt}%设置两栏之间的间距
\raggedbottom
% % https://tex.stackexchange.com/a/601258/322482
\usepackage{forloop}
\newcounter{vspaceinc}
\newcommand\xvspace[2]{\par\leavevmode%
  \forloop{vspaceinc}{0}{\thevspaceinc<#1}{%
  \vspace{\dimexpr1#2-\baselineskip-\parskip}\leavevmode\par}%
}
\begin{document}
        (1) *********************  
        \vspace*{8cm}

        (2) ********************* 
        \vspace*{8cm}
        
        (3) 已知齐次线性方程组  
        \[
        *******************
        \]  
        同解,求 $a,b,c$ 的值.
        \xvspace{12}{cm}
        
        (4) 已知齐次线性方程组 
\end{document}

方法二:

\documentclass[twocolumn,12pt]{ctexart}
\usepackage{showframe}
\usepackage[type=lowerleft]{fgruler}
\usepackage[paperwidth=42cm,paperheight=29.7cm,top=3cm,bottom=1cm,left=1.7cm,right=1.7cm,bindingoffset=0.5cm]{geometry}
\setlength{\columnsep}{35pt}%设置两栏之间的间距
\raggedbottom
% https://tex.stackexchange.com/a/601262/322482
\newlength{\gapinsert}
\newcommand{\insertgap}[1]{%
  \par
  \ifdim\dimexpr\pagegoal-\pagetotal<#1
    % Capture space remaining after page break
    \setlength{\gapinsert}{\dimexpr#1-\pagegoal+\pagetotal}%
    \pagebreak% Insert page break
    \vspace*{\gapinsert}% Insert additional/remaining gap; https://tex.stackexchange.com/q/33370/5764
  \else
    % Enough space available on page
    \vspace{#1}% Insert regular vspace
  \fi
}
\begin{document}
        (1) *********************  
        \vspace*{8cm}

        (2) ********************* 
        \vspace*{8cm}
        
        (3) 已知齐次线性方程组  
        \[
        *******************
        \]  
        同解,求 $a,b,c$ 的值.
        \insertgap{12cm}
        
        (4) 已知齐次线性方程组 
\end{document}

@u73286 Eureka老师补充了一个回答,基于tikz的fadings库:

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{fadings}
\begin{document}

% the clipping text
\begin{tikzfadingfrompicture}[name=title]
  \node [text=transparent!0, text width=0.7\paperwidth, align=center, font=\fontfamily{ptm}\bfseries\scshape, scale=3]
    {TH};
\end{tikzfadingfrompicture}

% use it to clip your image
\begin{tikzpicture}
  \node[scope fading=title,fit fading=false] (0,0) {
    \begin{tikzpicture}
      \shade[left color=red, right color=blue] (0,0) rectangle (2,1);
    \end{tikzpicture}
  };
\end{tikzpicture}
\end{document}

巧妇也难为无米之炊...

是不是应该贴一个能体现你问题的代码例子...包括模板的链接，也建议贴一贴...

另外，不是所有文章在被引用时都会「变为可以点击的超链接形式」

虽然我不太熟悉beamer...

但也许可以在文档第九章里简单用\visible叠层规则实现(?)

\documentclass{ctexbeamer}
\newcommand\myparaphase[1]{%
    \textcolor{red}{#1}%
}%
\begin{document}
\begin{frame}{屈原列传}
屈原者，名平，楚之同姓（
\visible<2->{\myparaphase{相同姓氏}}%<-吞掉空格
）也。为楚怀王左徒。博闻强志，明于治（
\visible<3->{\myparaphase{指国家安定}}%
）乱（
\visible<4->{\myparaphase{指国家动荡}}%
） ，娴（
\visible<5->{\myparaphase{熟悉}}%
）于辞令。入则与王图议国事，以出号令；出则接遇宾客，应对诸侯。王甚任之。
\end{frame}
\end{document}

上面的代码其实cleverref会报警告：

LaTeX Warning: Reference `lem' on page 1 undefined on input line 18.
LaTeX Warning: Reference `lem' on page 1 undefined on input line 18.

此事在下面的几个链接里都有记载：

• https://tex.stackexchange.com/a/730164/322482
• https://tex.stackexchange.com/a/735502/322482
• https://tex.stackexchange.com/questions/747380/cleveref-not-referring-correctly-to-a-theorem#comment1863469_747380

目前来看的最佳实践似乎是：

\documentclass{article}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{cleveref}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\AddToHook{env/lem/begin}{\crefalias{thm}{lem}}

\crefname{lem}{lemma}{lemmas}
\Crefname{lem}{Lemma}{Lemmas}
\begin{document}
  \begin{thm}\label{thm}
    foo
  \end{thm}
  \begin{lem}\label{lem}
    foo
  \end{lem}
  \noindent
  \cref{lem}, \Cref{lem}
\end{document}

似乎在firstaid中已经修了...但我不太懂这个...

最后补充一下「我本地TL2025会出问题」的内核和宏包版本(\listfiles)：

 *File List*
 article.cls    2025/01/22 v1.4n Standard LaTeX document class
  size10.clo    2025/01/22 v1.4n Standard LaTeX file (size option)
  amsthm.sty    2020/05/29 v2.20.6
cleveref.sty    2018/03/27 v0.21.4 Intelligent cross-referencing
l3backend-pdftex.def    2025-04-14 L3 backend support: PDF output (pdfTeX)

看看bending库

再看看Triangle Cap样式...

同时效果差是怎么个差法...请具体用图例描述你的预期需求

最重要的一点，你的代码还是太长

重点是「曲线箭头」

• 这与你的axis环境有关系吗？
• 与你的一系列字体设置又有何关系？

望简化代码再提问

个人猜测你遇到的「上下字体不统一」的原因是：

• 下方的内容使用的是\xlongequal的原生功能
• 上方的内容使用的是array，其对行距和字体的大小控制不太相同

对于「位置与内容呈现明显对偶关系」的内容， 最好 不要用不同的方式排版

事实上，最轻量级的amsamath宏包即提供了\substack的功能：

\documentclass{article}
\usepackage{newpxmath}% change the font to palatino style
\usepackage{amsmath}
\usepackage{extarrows}
\begin{document}
\[
\begin{vmatrix} 
    1 & 1 & 1 & 1 \\ 
    1 & 1 & 0 & -5 \\ 
    -1 & 3 & 1 & 3 \\ 
    2 & -4 & -1 & -3 
\end{vmatrix}
\xlongequal[r_2-r_1]{\substack{r_4+2r_3\\[3pt]r_3+r_1}}
    \begin{vmatrix} 
    1 & 1 & 1 & 1 \\ 
    0 & 0 & -1 & -6 \\ 
    0 & 4 & 2 & 4 \\ 
    0 & 2 & 1 & 3 
\end{vmatrix}
\]
\end{document}

另外，直接用vmatrix环境比\left|和\right|更优雅....

请提供完整代码....不然谁能知道你是怎么排出来这个效果的...

Learning from egreg's elegant solution by box manipulation:

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\newcommand{\lastcfrac}[2]{%
      \raisebox{\dimexpr1ex-\height}{%
        $\displaystyle
          \raisebox{.5\height}{$\ddots$}+\cfrac{#1}{#2}
        $%
      }%
    }
\begin{document}
    \[
        q_0 + \cfrac{1}{q_1 + \cfrac{1}{q_2 + \ddots +\cfrac{1}{q_n}}} 
    \]

    \[
        q_0 + \cfrac{1}{q_1 + \cfrac{1}{q_2+\lastcfrac{1}{q_n}}} 
    \]
\end{document}

嗯..我个人觉得比原图的省略号更美观...