TA的回答 - 第9页

很棒！学以致用！

也许从下面这个例子里可以找到原因：

name=H意味着得到的垂直实际上名为Ha、Hb与Hc...

\documentclass[tikz, border=5mm]{standalone}
\usepackage{tkz-euclide}
%\usetkzobj{all} % 解决命令未定义问题 - 加载所有对象类型
\usetikzlibrary{angles, quotes} % 用于绘制角度标记

\begin{document}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
        % 定义三个顶点
        \tkzDefPoints{-1.5/0/B, 1.5/0/C, 0/4/A}
        % 定义垂心
        \tkzDefTriangleCenter[ortho](A,B,C)
        \tkzGetPoint{P}
        % 定义三个垂足
        \tkzDefSpcTriangle[ortho,name=P](A,B,C){D,E,F}
        % 画三角形ABC，画三个顶点，连三条高线
        \tkzDrawPolygon[thick][color=blue](A,B,C)
%        \tkzDrawPoints(A,B,C,P)
%        \tkzDrawSegments[thick](A,PD B,PE C,Pc)
        \tkzDrawSegments[thick](A,PD B,PE)
        % 添加标签
        \tkzLabelPoint[above left](P){$P$}
        \tkzLabelPoint[above](A){$A$}
        \tkzLabelPoint[below left](B){$B$}
        \tkzLabelPoint[below right](C){$C$}
        \tkzLabelPoint[below](PD){$D$}
        \tkzLabelPoint[right](PE){$E$}
%        \tkzAutoLabelPoints[center=P](A,B,C)        
    \end{tikzpicture}
\end{document}

如何debug?

Package pgf Error: No shape named `D' is known. ^^I^^I\tkzLabelPoint[below](D){$D$}
Package pgf Error: No shape named `E' is known. ^^I^^I\tkzLabelPoint[right](E){$E$}

查看报错信息，为什么只有D和E找不到，看看这两个点是在\tkzDefSpcTriangle里定义的，回去翻\tkzDefSpcTriangle的文档：

（此事在文档中亦有记载...）

关于如何精确让`AE=BE`...

这里的E点如果直接用AE=BE个人觉得会稍显复杂，因为衡量长度似乎稍显代码冗长....

条条大道通罗马...

第一个思路：「高+等腰=等腰直角大概可以想到中垂线」

确定A、B、C
作高AD⊥BC
作AB上的中垂线交AC于E

\documentclass[tikz,border=5mm]{standalone}
\usepackage{tkz-euclide}
\usetikzlibrary{angles}
\begin{document}
    \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round]
        \tkzDefPoints{-1.5/0/B, 1.5/0/C, 0/4/A}
        \tkzDefPointBy[projection = onto B--C](A)
        \tkzGetPoint{D}

        \tkzDefLine[mediator](A,B)
        \tkzGetPoints{P1}{P2}
        \tkzInterLL(A,C)(P1,P2) 
        \tkzGetPoint{E}

        \tkzInterLL(A,D)(B,E) 
        \tkzGetPoint{P}

        \tkzDrawSegments[thick](A,D B,E)
        \tkzDrawPolygon[semithick](A,B,C)
 
        \tkzLabelPoint[above](A){$A$}
        \tkzLabelPoint[below left](B){$B$}
        \tkzLabelPoint[below right](C){$C$}
        \tkzLabelPoint[below](D){$D$}
        \tkzLabelPoint[right](E){$E$}
    \end{tikzpicture}
\end{document}

不过这似乎不太直角...

再看看「点A」应该如何定位吧...

嗯，显然∠BAC是45°，对于(-1.5,0) (1.5,0)和(0,4)用余弦定理理论上这个角不是45°，所以要想完全精确最好是不要直接给定ABC的坐标，应该另谋他路来「用最少的点唯一确定这个图形」...

未完待续....

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问利用tikz绘制min，max函数，有现成的宏包吗？还是只能手动分段绘制

可以直接用pgfplots:

\documentclass[a4paper,border=2pt]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
    axis lines=middle,
    xlabel=$x$,
    ylabel=$y$,
    xmin=-3, xmax=5,
    ymin=-2, ymax=5,
    samples=300,
    smooth,thick,
    grid=major,
    grid style={gray!30},
]
    \addplot[cyan, dashed, domain=-3:5] {abs(x) - 1};
    \addplot[violet, dotted, domain=-3:5] {(x-2)^2};
    \addplot[red, ultra thick, domain=-3:5] {min(abs(x)-1, (x-2)^2)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

「函数图像」和「平面欧几里得图形」是不太一样的，应该选择最合适的工具。

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同样是读文档！！

\documentclass{article}
\usepackage{libertinus-otf}
\usepackage{nicematrix}
\usepackage{tikz}
\usepackage{lipsum}
\begin{document}
\lipsum[2]
\[
X = 
\begin{pNiceMatrix}[
        create-large-nodes,
        left-margin=7pt,
        right-margin=2pt
    ]
    1 & 0 & 2 & 0 & -3 \\
    0 & 1 & -1 & 0 & -4 \\
    0 & 0 & 0 & 3 & 5 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
    \CodeAfter
    \tikz \draw[densely dashed,violet]
    (1|-1) -- (1|-2) -- (2|-2) -- (2|-3) -- (4|-3) -- (4|-4) -- (6|-4)
    ;
\end{pNiceMatrix}
= Y
\]
\lipsum[2]

\end{document}

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问 LaTeX 中绘图的思维流程

通用的绘图逻辑: 思考确定合适的思路/顺序 ➡ 定点 ➡ 连线 ➡ 标记

但是在实际操作时，由于写代码更多的是坐标来描述点的位置，因此想上面图中的D点和C点的坐标并不好精确确定，这个时候一般靠抖机灵吧

先看看你的思路：

手绘的时候，我的思维是这样的：先画出来一条直线长度为4的线段AB → 画出来∠DAB和∠CBA → 画出∠DAB和∠CBA各自的角平分线（射线），取到交点E并裁掉射线多余的部分 → 过E点按照原图中的样子画直线DC → 把多余的线擦掉

是可以做到的，但是在绘图时「绘制相等的角」和「取交点」在代码实现上相对是比较长的，在这个例子里可以规避，让思路更简单，也让代码更简单；而且在画的时候，只有使用指令才会绘制，我们可以只定义某个点但不做绘制，也就不需要所谓的「擦去」了。上面的「思考确定合适的思路/顺序」要以有便捷的命令来实现为原则，这可能需要对tkz-euclide提供的功能有一定的熟悉度，尽量避免一些比较复杂的定点思路。

因为这是平面欧几里得几何，所以我会优先选择tkz-euclide，使用纯tikz画起来更难受...有空我会做补充，你可以对比一下...

分享一下我抖机灵的思路，其实这里比较难确定的是D点和C点，而他们都是Q点的对称点，通过texdoc tkz-euclide在文档里寻宝，不难发现有projection操作：

于是最初步的定点思路和代码基本出来了：
1:确定 A B Q E 的坐标
2:Q关于AE做轴对称；Q关于BE做轴对称
3:连接点绘制图形
4:做点的标记和角度的标记

\documentclass[tikz,border=5pt]{standalone}
\usepackage{tkz-euclide}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round]
% step1定点
\tkzDefPoints{0/0/A,5/0/B,3/0/Q,3.2/2.4/E}
% step2对称定点
\tkzDefPointBy[reflection = over A--E](Q) 
\tkzGetPoint{D} 
\tkzDefPointBy[reflection = over B--E](Q) 
\tkzGetPoint{C}
% step3绘制框架
\tkzDrawPolygon[thick](A,B,C,D)
\tkzDrawSegments[thick](A,E B,E)
% step4-1标点
\tkzLabelPoints[left](A)
\tkzLabelPoints[below right](B)
\tkzLabelPoints[above](D,E)
\tkzLabelPoints[above right](C)
% step4-2标角度
\tkzLabelAngle[pos=.85,font=\small](E,A,D){1} 
\tkzMarkAngle[size=.5](E,A,D)
\tkzLabelAngle[pos=.65,font=\small](B,A,E){2} 
\tkzMarkAngle[size=.35](B,A,E)
\tkzLabelAngle[pos=.65,font=\small](E,B,A){3} 
\tkzMarkAngle[size=.35](E,B,A)
\tkzLabelAngle[pos=.75,font=\small](C,B,E){4} 
\tkzMarkAngle[size=.55](C,B,E)
\end{tikzpicture}
\end{document}

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问如何画图中的阶梯形矩阵？虚线得画上喔

0.提问要给代码，即使是只有矩阵的内容的代码。给代码可以大大方便别人回答。
1.在命令行输入「texdoc nicematrix」回车
2.翻到Page 69,学！

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问利用tangent绘图系统画切线失败

我认为的最佳实践，当涉及「圆锥曲线」时，比较系统化的作图方式是基于tkz-elements,下面的代码虽然较长，但是逻辑清晰，可拓展性强，方便多次复用。

\documentclass[tikz,border=2pt]{standalone}
\usepackage{tkz-euclide,tkz-elements}
\directlua{
    init_elements()
    z.O = point(0, 0)
    z.C = point(2, 1)
    z.P = point(4, 4)
    % -- 准线
    z.L1 = point(-1,-4.5)
    z.L2 = point(-1,4.5)
    L.line = line(z.L1, z.L2)
    % -- 抛物线
    z.F = point(1, 0)
    CO.PA = conic(z.F, L.line, 1)
    PA.PA = CO.PA:points(-4.5, 4.5, 300)
    % -- 定义圆
    z.c = point(0, 1)
    C.Cc = circle(z.C, z.c) 
    % -- 定义过P做圆C的切线
    L.T1,L.T2 = C.Cc:tangent_from(z.P)
    z.T1 = L.T1.pb
    z.T2 = L.T2.pb
}
\begin{document}
    \begin{tikzpicture}[scale=.4,smooth,line cap=round]
        \tkzGetNodes
        \tkzInit[xmin=-2,xmax=5.5,ymin=-4.5,ymax=4.5] 
        \tkzDrawX[noticks]\tkzDrawY[noticks]
        \tkzDrawCircle[red,thick](C,c)
        \tkzDrawPoints(O,P,C,T1,T2)
        \tkzLabelPoints[below left](O,P,C)
        \tkzDrawSegment[cyan,thick](L1,L2)
        \tkzDrawCoordinates[smooth,cyan,thick](PA.PA)
        \tkzDrawSegments[violet,thick](P,T1 T1,C C,T2 T2,P)
    \end{tikzpicture}
\end{document}

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问利用tangent绘图系统画切线失败

预期的目标效果是什么呢？

这个图中的c是一个node，圆周是node的边界，而你代码中：

\coordinate[label=left:$C$](C)at(2,1);
\draw[red](C)circle(2);
\draw(P)--(tangent cs:node=C,point={(P)},solution=1)--(C.center)--cycle;

圆周是一个path，你用tangent cs绘制的是对coordinate点C的切线，而点是没有半径的，所以重合了...

BTW,下面这些包只有calc和你的问题有关。

\usetikzlibrary{
    % math,
    calc,
    % intersections,
    % through,
    % angles,
    arrows.meta,
    % shapes.geometric,
    % shadows,
    % quotes,
    % spy,
    % datavisualization,
    % datavisualization.formats.functions,
    % plotmarks
}

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问如何正确使用原语`\jot`来修改数学公式的行距？下面的例子中对`\jot`的修改为何失效？

需要注意的是：

LaTeX2e内核中定义的\cases和amsmath宏包重定义的cases环境并不相同。

\documentclass{article}
\begin{document}
\[
|x|=\cases{x,&if $x\ge0$;\cr 
-x,&otherwise.\cr}
\]
\end{document}

重点要转到关注amsmath.dtx中的有关定义：

% line 2604~2614
\renewenvironment{cases}{%
  \matrix@check\cases\env@cases
}{%
  \endarray\right.%
}
\def\env@cases{%
  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
  \left\lbrace
  \def\arraystretch{1.2}%
  \array{@{}l@{\quad}l@{}}%
}

cases环境本质是是一个带\lbrace的array环境，与\jot并无关系

所以...似乎patch一下\arraystretch即可实现第二个需求：

\documentclass{ctexart}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\makeatletter
\def\env@cases{%
  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
  \left\lbrace
  \def\arraystretch{2.5}%
  \array{@{}l@{\quad}l@{}}%
}
\makeatother
\begin{document}
\[
\begin{cases}
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} \neq \dfrac{3}{3} \\
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} = \dfrac{3}{3}
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} \neq \dfrac{3}{3} \\
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} = \dfrac{3}{3}
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} \neq \dfrac{3}{3} \\
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} = \dfrac{3}{3}
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} \neq \dfrac{3}{3} \\
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} = \dfrac{3}{3}
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} \neq \dfrac{3}{3} \\
    \dfrac{1}{1} + \dfrac{2}{2} = \dfrac{3}{3}
\end{cases}
\]
\end{document}

嗯...效果并不是很好...

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问 enlargethispage命令在paracol环境所在页为什么会失效？

可以利用fgruler宏包给PDF加上标尺

%%使用paracol环境，可以发现文字高度没有变化
%%不使用paracol环境，文字高度变化

文字高度变化是什么意思(?)是和什么做对比的(?) 可否补充详细的对比图示....

\documentclass[
    oneside, % 让页面左右对称
    openany, % 去掉偶数面的空白页
]{book}
\usepackage{lipsum}
\usepackage[type=upperleft]{fgruler}
\usepackage[showframe]{geometry}
\usepackage{paracol}
\newcommand{\Chapter}[1]{%
\chapter{#1}%
\enlargethispage{-2.0cm}
}
\begin{document}
    %%使用paracol环境，可以发现文字高度没有变化
    \Chapter{title}
    \begin{paracol}{2}
        \lipsum[1-2]
    \end{paracol}
    %%不使用paracol环境，文字高度变化
    \Chapter{title}
    \lipsum[1-3]
\end{document}

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问为何自定义的行内高亮命令无法运行？

改不动了....一定不会有后续了...Happy LaTeX3!

我食言了。

我还是觉得作为一名开发者，不能对latex3在七窍通了六窍的情况下就开始造轮子

过分使用AI只会陷入vibe coding这种「复制链接大脑，粘贴代替思考」的境地，事实上，对于\keys_value:nn查无此命令的幻觉应该是很容易通过texdoc interface3发觉的。

我删掉了大部分注释，也不打算做介绍了...

Claim:我没太注意ai给的tikz绘制细节，只是把`l3keys`的错误用法做了修改...

如果我没理解错.meta:n创建的是「元键」是用来创建多层级键值对的，也并不是「定义短名称作为别名，方便用户调用」，这似乎又是一个幻觉...

当一些错误混杂在基本正确的逻辑中，挺难debug的，遇到这种情况还是应该自己从最简单的「l3keys」例子开始，一步步测试，不要每次复制粘贴上百行代码...

先实现tikz的绘图逻辑
再学会如何用l3keys控制键值对
最后封装tikzhl命令

一个不基于.initial:n的做法如下：

\documentclass{ctexart}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\ExplSyntaxOn
\tl_new:N \l_tikzhl_highlight_color_tl
\tl_new:N \l_tikzhl_underline_thickness_tl
\tl_new:N \l_tikzhl_underline_color_tl
\tl_new:N \l_tikzhl_corner_radius_tl
\dim_new:N \l_tikzhl_padding_dim
\dim_new:N \l_tikzhl_underline_offset_dim
\keys_define:nn { tikzhl } {
  hlcolor .tl_set:N = \l_tikzhl_highlight_color_tl,
  ulcolor .tl_set:N =\l_tikzhl_underline_color_tl,
  thickness .tl_set:N = \l_tikzhl_underline_thickness_tl,
  radius .tl_set:N = \l_tikzhl_corner_radius_tl,
}
\keys_set:nn { tikzhl } {
  hlcolor = yellow!30,
  ulcolor= blue,      
  thickness = 1.5pt,
  radius = 0pt,
}
\NewDocumentCommand{\tikzhl}{ O{} m }{%
  \tikz[baseline=(current~bounding~box.base)]{
    % 设置内部维度变量的值。
    \dim_set:Nn \l_tikzhl_padding_dim { 1pt }% 文本与高亮框的内边距
    \dim_set:Nn \l_tikzhl_underline_offset_dim { 1pt }% 下划线距离文本的垂直偏移
    \keys_set:nn { tikzhl } { #1 }
    % 1. 绘制文本节点，并应用高亮背景和圆角。
    \node[
      inner~sep=\l_tikzhl_padding_dim,
      fill=\l_tikzhl_highlight_color_tl,
      text=black,
      anchor=base,
      rounded~corners=\l_tikzhl_corner_radius_tl,
    ] (textnode) {#2};% 节点内容为 #2 (强制参数)
    % 2. 绘制加粗下划线。
    \draw[
      draw=\l_tikzhl_underline_color_tl,
      line~width=\l_tikzhl_underline_thickness_tl
     ] ($(textnode.south~west) + (0,-\dim_use:N \l_tikzhl_underline_offset_dim)$) 
    -- ($(textnode.south~east) + (0,-\dim_use:N \l_tikzhl_underline_offset_dim)$);
  }%
}
\ExplSyntaxOff

\begin{document}

这是一个示例文本，其中包含一些 \tikzhl{需要高亮} 的内容。
你可以看到它和周围的文本在同一行，并且带有加粗的下划线。

% --- 正确的调用方式示例 (使用键值对) ---

% 1. 仅改变高亮背景颜色
\tikzhl[hlcolor=green!20]{这是绿色高亮}。

% 2. 仅改变下划线粗细
\tikzhl[thickness=2pt]{这是粗下划线}。

% 3. 仅改变下划线颜色
\tikzhl[ulcolor=red]{这是红色下划线}。

% 4. 设置圆角半径
\tikzhl[radius=3pt]{这个是圆角高亮}。

% 5. 组合使用：紫色高亮，3pt下划线，紫色下划线，3pt圆角
\tikzhl[hlcolor=violet!20, thickness=3pt, ulcolor=purple, radius=3pt]{复杂组合示例}。

% 6. 所有参数都使用默认值
默认样式：\tikzhl{默认样式}。

\end{document}

希望下次不要直接把ai的代码丢上来，要注意到这个问题其实不是集中在一个关键点上，而是泛泛而谈「但是无法运行，有很多报错，请问是什么原因？」，后来者看到这个页面的时候很难反应过来这是在「改l3keys的不正确语法」。

请问是否可以增加绘制外部框线的属性，包括可以调节外部框线的粗细，圆角和颜色？

没看太明白，上面好像已经实现了控制(?)...tikz您是高手，应该可以自己搞定...

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问为何自定义的行内高亮命令无法运行？

这个问题太长了，目测OP在原问题上花的时间和精力并不多。

没有细看，但是AI在一个如此庞大的和精细的需求里是不给力的

但是无法运行，有很多报错

那理应贴出来报错信息。

side-notes:

\usepackage{xcolor} % 用于定义颜色
\usepackage{xparse} % 用于定义带有可选参数和默认值的命令

这两行都是不需要的，tikz内部调用了xcolor；且xparse早已进入内核，因此都不需要显式调用。

第一个报错是：

! Undefined control sequence.
<argument> ..._highlight_color_tl {\keys_value:nn
                                                  {tikzhl}{highlight-color}}
l.91 ...其中包含一些 \tikzhl{需要高亮}
                                                   的内容。
?

很显然，在interface3.pdf中并不能搜索到\keys_value:nn这个API...

\tl_set:Nx \l_tikzhl_highlight_color_tl { \keys_value:nn { tikzhl } { highlight-color } }
\tl_set:Nx \l_tikzhl_underline_thickness_tl { \keys_value:nn { tikzhl } { underline-thickness } }
\tl_set:Nx \l_tikzhl_underline_color_tl { \keys_value:nn { tikzhl } { underline-color } }
\tl_set:Nx \l_tikzhl_corner_radius_tl { \keys_value:nn { tikzhl } { corner-radius } }

上面几行都显然是是错的...

一般来说，l3keys里类似的需求也许会这么写:

\keys_define:nn { foo / blockstyle } {
    bordercolor .tl_set:N = \l_foo_border_color_tl,
    backgroundcolor .tl_set:N = \l_foo_background_color_tl,
    textcolor .tl_set:N = \l_foo_text_color_tl,
    textstyle .tl_set:N = \l_foo_text_style_tl,
}

但这基本上要重写代码，而且需要别人先理解你的原始需求，再理解ai的实现过程，我不喜欢读ai生产的垃圾....

第二个错误：

! Package pgfkeys Error: I do not know the key '/tikz/innersep', to which you p
assed '\dim_use:N \l_tikzhl_padding_dim ', and I am going to ignore it. Perhaps
 you misspelled it.

See the pgfkeys package documentation for explanation.
Type  H <return>  for immediate help.
 ...

l.91 ...其中包含一些 \tikzhl{需要高亮}
                                                   的内容。
?

另一个很显然的问题是，在\ExplSyntaxOn/Off对里，空格均会被忽略，因此带空格的rounded corners和line width都应该加上~.....

改不动了....一定不会有后续了...Happy LaTeX3!

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问在subequations内使用empheq时，当遇到长公式需要折行时，如何去掉多余的编号?

此事在lshort中亦有记载

0.你原先的代码还是有大量和问题无关的内容，他们理应被删去，不要给别人增加代码阅读量！！:

\usepackage{tabularx}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{caption}
\usepackage{float}
\usepackage{cases}
\usepackage[font={small,rm}]{caption}
\DeclareGraphicsRule{.jpg}{eps}{.bb}{}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{corollary}{Corollary}
\newtheorem{definition}{Definition}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\newtheorem{proposition}{Proposition}
\newtheorem{algorithm}{Algorithm}
\newtheorem{assumption}{Assumption}
\newtheorem{remark}{Remark}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\allowdisplaybreaks

1.加上\nonumber就可以去掉编号
2.我在最后一行加上了\quad，让末两行看上去是「同一个公式（折行）」

\documentclass[twocolumn]{IEEEtran}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{empheq}
\begin{document}
\begin{subequations}
\begin{empheq}
[left={\textbf{OP1}:\empheqlbrace}]{align}
&\underset{u}{\min}~ \psi\\
&\mathrm{s.t.}~~J_{\infty}(s) \leq \psi\\
&\underset{p}{\max}\left|\left[u(s)\right]_p\right|\leq \bar{u}, \\
&\underset{q}{\max}\left|\left[x(s+1|s)\right]_q\right|\leq \bar{x},\\                                     
& \mathscr{E}\{V(\phi(s))\}-V(\phi(s))\\
& \quad \leq  -z^{\mathrm{T}}(s)z(s)+\rho d^{\mathrm{T}}(s)d(s). \nonumber
\end{empheq}
\end{subequations}
\end{document}

Edit：

感觉这样更好看...

换行后又多增加一个标号1f（其实是一个公式），需要如何去掉1f呢?

表意不明，差评！

\documentclass[twocolumn]{IEEEtran}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{empheq}
\begin{document}
\begin{subequations}
\begin{empheq}
[left={\textbf{OP1}:\empheqlbrace}]{align}
&\underset{u}{\min}~ \psi\\
&\mathrm{s.t.}~~J_{\infty}(s) \leq \psi\\
&\underset{p}{\max}\left|\left[u(s)\right]_p\right|\leq \bar{u}, \\
&\underset{q}{\max}\left|\left[x(s+1|s)\right]_q\right|\leq \bar{x},\\                                     
& \mathscr{E}\{V(\phi(s))\}-V(\phi(s))\nonumber\\
& \qquad \leq  -z^{\mathrm{T}}(s)z(s)+\rho d^{\mathrm{T}}(s)d(s). 
\end{empheq}
\end{subequations}
\end{document}

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问 \vspace*遇到换页距离不够导致奇怪间距？如何实现可跨页的\vspace？

需求(a) 不希望「同解，求值」出现在第二栏，改用`\vspace`而不是`\vspace*`即可：

\documentclass[twocolumn,12pt]{ctexart}
\usepackage{showframe}
\usepackage[type=lowerleft]{fgruler}
\usepackage[paperwidth=42cm,paperheight=29.7cm,top=3cm,bottom=1cm,left=1.7cm,right=1.7cm,bindingoffset=0.5cm]{geometry}
\setlength{\columnsep}{35pt}%设置两栏之间的间距
\raggedbottom
\begin{document}
        (1) *********************  
        \vspace*{8cm}

        (2) ********************* 
        \vspace*{8cm}
        
        (3) 已知齐次线性方程组  
        \[
        *******************
        \]  
        同解,求 $a,b,c$ 的值.
        \vspace{8cm}
        
        (4) 已知齐次线性方程组 
\end{document}

需求(b) 希望得到可跨行的`\vspace`:

参考链接: https://tex.stackexchange.com/questions/601243/vspace-at-the-end-of-a-page

方法一：

\documentclass[twocolumn,12pt]{ctexart}
\usepackage{showframe}
\usepackage[type=lowerleft]{fgruler}
\usepackage[paperwidth=42cm,paperheight=29.7cm,top=3cm,bottom=1cm,left=1.7cm,right=1.7cm,bindingoffset=0.5cm]{geometry}
\setlength{\columnsep}{35pt}%设置两栏之间的间距
\raggedbottom
% % https://tex.stackexchange.com/a/601258/322482
\usepackage{forloop}
\newcounter{vspaceinc}
\newcommand\xvspace[2]{\par\leavevmode%
  \forloop{vspaceinc}{0}{\thevspaceinc<#1}{%
  \vspace{\dimexpr1#2-\baselineskip-\parskip}\leavevmode\par}%
}
\begin{document}
        (1) *********************  
        \vspace*{8cm}

        (2) ********************* 
        \vspace*{8cm}
        
        (3) 已知齐次线性方程组  
        \[
        *******************
        \]  
        同解,求 $a,b,c$ 的值.
        \xvspace{12}{cm}
        
        (4) 已知齐次线性方程组 
\end{document}

方法二:

\documentclass[twocolumn,12pt]{ctexart}
\usepackage{showframe}
\usepackage[type=lowerleft]{fgruler}
\usepackage[paperwidth=42cm,paperheight=29.7cm,top=3cm,bottom=1cm,left=1.7cm,right=1.7cm,bindingoffset=0.5cm]{geometry}
\setlength{\columnsep}{35pt}%设置两栏之间的间距
\raggedbottom
% https://tex.stackexchange.com/a/601262/322482
\newlength{\gapinsert}
\newcommand{\insertgap}[1]{%
  \par
  \ifdim\dimexpr\pagegoal-\pagetotal<#1
    % Capture space remaining after page break
    \setlength{\gapinsert}{\dimexpr#1-\pagegoal+\pagetotal}%
    \pagebreak% Insert page break
    \vspace*{\gapinsert}% Insert additional/remaining gap; https://tex.stackexchange.com/q/33370/5764
  \else
    % Enough space available on page
    \vspace{#1}% Insert regular vspace
  \fi
}
\begin{document}
        (1) *********************  
        \vspace*{8cm}

        (2) ********************* 
        \vspace*{8cm}
        
        (3) 已知齐次线性方程组  
        \[
        *******************
        \]  
        同解,求 $a,b,c$ 的值.
        \insertgap{12cm}
        
        (4) 已知齐次线性方程组 
\end{document}

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问三角形中高的绘制方法

很棒！学以致用！

也许从下面这个例子里可以找到原因：

如何debug?

关于如何精确让`AE=BE`...

第一个思路：「高+等腰=等腰直角大概可以想到中垂线」

问利用tikz绘制min，max函数，有现成的宏包吗？还是只能手动分段绘制

问如何画图中的阶梯形矩阵？虚线得画上喔

同样是读文档！！

问如何画图中的阶梯形矩阵？虚线得画上喔

问 LaTeX 中绘图的思维流程

问 LaTeX 中绘图的思维流程

问如何画图中的阶梯形矩阵？虚线得画上喔

问利用tangent绘图系统画切线失败

问利用tangent绘图系统画切线失败

问如何正确使用原语`\jot`来修改数学公式的行距？下面的例子中对`\jot`的修改为何失效？

问 enlargethispage命令在paracol环境所在页为什么会失效？

问为何自定义的行内高亮命令无法运行？

我还是觉得作为一名开发者，不能对latex3在七窍通了六窍的情况下就开始造轮子

Claim:我没太注意ai给的tikz绘制细节，只是把`l3keys`的错误用法做了修改...

问为何自定义的行内高亮命令无法运行？

这个问题太长了，目测OP在原问题上花的时间和精力并不多。

那理应贴出来报错信息。

问在subequations内使用empheq时，当遇到长公式需要折行时，如何去掉多余的编号?

Edit：

表意不明，差评！

问 \vspace*遇到换页距离不够导致奇怪间距？如何实现可跨页的\vspace？

需求(a) 不希望「同解，求值」出现在第二栏，改用`\vspace`而不是`\vspace*`即可：

需求(b) 希望得到可跨行的`\vspace`:

方法一：

方法二:

会员统计

很棒！学以致用！

也许从下面这个例子里可以找到原因：

如何debug?

关于如何精确让AE=BE...

第一个思路：「高+等腰=等腰直角大概可以想到中垂线」

同样是读文档！！

我还是觉得作为一名开发者，不能对latex3在七窍通了六窍的情况下就开始造轮子

Claim:我没太注意ai给的tikz绘制细节，只是把l3keys的错误用法做了修改...

这个问题太长了，目测OP在原问题上花的时间和精力并不多。

那理应贴出来报错信息。

Edit：

表意不明，差评！

需求(a) 不希望「同解，求值」出现在第二栏，改用\vspace而不是\vspace*即可：

需求(b) 希望得到可跨行的\vspace:

方法一：

方法二:

会员统计

关于如何精确让`AE=BE`...

Claim:我没太注意ai给的tikz绘制细节，只是把`l3keys`的错误用法做了修改...

需求(a) 不希望「同解，求值」出现在第二栏，改用`\vspace`而不是`\vspace*`即可：

需求(b) 希望得到可跨行的`\vspace`: