建议阅读 tkz-euclide 宏包手册与 pgf-tikz宏包手册第三部分

用纯 tikz 给一个弱的解答。思路是先求出多边形的重心，然后在重心到顶点射线的方向上的合适位置放置标签，用 calc 库计算坐标。

\documentclass[tikz,border=1cm]{standalone}
\usetikzlibrary{calc}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}
  \foreach \x/\y in {%
    (0,0)/a,
    (1,1)/b,
    (3,2)/c,
    (4,-1)/d,
  (2,-2)/e}
  { \node[fill, circle, inner sep =0pt, minimum size = 3pt] (\y) at \x {}; }
  \draw plot coordinates {(a) (b) (c) (d) (e) (a)};

  \coordinate (O) at ($0.2*(a)+ 0.2*(b)+ 0.2*(c)+ 0.2*(d)+ 0.2*(e)$);

  \fill[red] (O) circle(2pt);% 重心

  \foreach \x in {a,c,d,e}
  {\node at ($(O)!1.15!(\x)$){$\x$};}

  \node at ($(O)!1.22!(b)$){$b$};

\end{tikzpicture}

\end{document}

不难看到，用重心作为射线的起点并不完美，上图中的 b 标签就不能合适放置，故而只能单独绘制。

对于在圆上的凸多边形，存在到所有顶点距离相等的点，用该点作为射线起点比较合适，但对应一般的凸多边形不存在这样的点，所以仅仅用重心并不合适。

以上操作，本质上和逐个绘制标签没有区别，仅仅是用 foreach 简化操作。

给一个用 tikz 的 matrix 实现的方法，和上面的回答一致，但大括号用 \big 配合 \delimitershortfall 命令实现，主要用一下 \delimitershortfall

\documentclass[border=1cm,tikz]{standalone}

\usetikzlibrary {matrix, calc}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}

  \matrix (m) [minimum width = 2em, minimum height = 3.5ex, matrix of nodes] {
    1 & 0 & 2 & 0 & -3\\

    0 & 1 & -1 & 0 & 4 \\

    0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\

    0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
  };

  \draw[red, dashed] ($(m-1-1.north west)+(0.17,-0.13)$) |- (m-2-1.north east) |-(m-3-3.north east) |-($(m-4-5.north east)-(0.16,0)$);

  \delimitershortfall=-42pt
  \node at($(m.west)+(0.1,0)$) {$\big($ };
  \node at($(m.east)-(0.15,0)$) {$\big)$ };
\end{tikzpicture}

\end{document}

以上采用 node 的参数 minimum width, minimum height 控制元素的间距，使元素的间距更加均匀，也更容易控制虚线位于两列元素之间的中线位置。

使用 calc 库方便精调括号的位置。

实践中看到，delimitershortfall 的参数对括号的长度控制成梯状，比如 \delimitershortfall=-37 到 \delimitershortfall=-42 大括号没有变化，但 \delimitershortfall=-43就会变长。

tikz 相较于 nicematrix 输出矩阵效率低，但可以调细节，各取所需。

针对等号上下的公式，给两种方法：

1. 借助 extarrows 宏包的 \xlongequal 命令

% \usepackage{extarrows}

\[
A \xlongequal[r_2 - r_1]{\substack{\scalebox{0.7}{$r_4 + 2r_3$} \\[1ex]r_2 + r_1\\[1ex]}} B
\]

2. 使用 array 环境，不过还需要 mathtools 宏包：

% \usepackage{mathtools,extarrows}

\[
A \xlongequal[r_2 - r_1]{\scalebox{0.8}{$\begin{array}{c}
\scalebox{0.9}{$r_4 + 2r_3$}\\[0.5ex]
r_2 + r_1\\[0.5ex]
\end{array}$}} B
\]

此外，还可以使用 tikz 局部造符号，有兴趣可以自己试试。

给一个比较愚蠢的方法，与 nicematrix 无关，仅仅作为一种方法。用 tikz 的 matrix 库实现

\documentclass[tikz,border=1cm]{standalone}

\usetikzlibrary{matrix,calc}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}

  \matrix (m) [matrix of math nodes,
    left delimiter=(,
    right delimiter=),
    inner sep=1pt, column sep=8pt,
    row sep=8pt,
  ]
  {
    A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1s} \\
    A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2s} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    A_{r1} & A_{r2} & \dots & A_{rs} \\
  };

  \foreach \x/\y in {1/1,2/2,4/s}
  {
    \node[align=center] at ($(m-1-\x.north)+(0,0.27)$) {\scalebox{0.8}{$n_{\y}$}\\[-1ex]
    \scalebox{0.65}{\rotatebox{90}{$\bigg\}$}}
  };
}

\foreach \x/\y in {1/1,2/2,4/r}
{
  \node[align=center] at ($(m-\x-4)+(1,0)$) {\scalebox{0.9}{$\big\}$}\,\scalebox{0.8}{$m_{\y}$}
};
}

\node at ($(m-1-3.north)+(0.03,0.35)$){$\cdots$};
\node at ($(m-3-4)+(0.85,0)$){$\vdots$};
\end{tikzpicture}

\end{document}

可以看到，一些元素的间距处理比较麻烦而且效果不完美，用 nicematrix 处理更好。

重新写一下回答：

答案 2 的思路基本上就是我在群里说的思路，下面对 node 的形状为 circle 的情况，借助 pgfkey 封装成一个命令

\documentclass[tikz,border=5pt]{standalone}
\usetikzlibrary{calc}

\makeatletter
\pgfkeys{
  /tikz/dash circle/minsize/.code    = \def\dc@min{#1},
  /tikz/dash circle/segments/.code   = \def\dc@seg{#1},
  /tikz/dash circle/radio/.code      = \def\dc@rat{#1}
}

\pgfkeys{
  /tikz/dash circle/.code = {%
    \pgfqkeys{/tikz/dash circle}{#1}%

    \@ifundefined{dc@min}{\errmessage{dash circle: 'minsize' is required}}{}
    \@ifundefined{dc@seg}{\errmessage{dash circle: 'segments' is required}}{}
    \@ifundefined{dc@rat}{\errmessage{dash circle: 'radio' is required}}{}

    \pgfmathsetmacro{\dc@circ}{pi * \dc@min}
    \pgfmathsetmacro{\dc@on}{(\dc@rat / (\dc@rat + 1)) * \dc@circ / \dc@seg}
    \pgfmathsetmacro{\dc@off}{(1 / (\dc@rat + 1)) * \dc@circ / \dc@seg}

    \tikz@addoption{%
      \pgfsetdash{{\dc@on pt}{\dc@off pt}}{0pt}%
      \pgfkeysalso{/tikz/shape=circle}%
    }
  }
}
\makeatother

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[nodes={draw, line width=1pt, red, font=\LARGE, text = blue}]
\node[draw, minimum size=3cm, dash circle={minsize=3cm, segments=10, radio=2}] at (0,0) {ABC};

\node[draw, minimum size=3cm, dash circle={minsize=3cm, segments=20, radio=2}] at (6,0) {ABC};

\node[draw, minimum size=3cm, dash circle={minsize=3cm, segments=10, radio=1}] at (0,-4) {ABC};

\node[draw, minimum size=2cm, dash circle={minsize=2cm, segments=10, radio=1}] at (6,-4) {ABC};
\end{tikzpicture}
\end{document}

其中 minisize 是 node 的 minimum size 的值，segments 是虚线的节数，radio 是 on 与 off 的比值，这比输入 on 或者 off 的值更加自然。

此外，该命令未将 minimum size 放进，也就是说用户需要在命令外重新输入 node 的 minimum size，这样是为了形式更加自然，因为本质上这个命令只是用来输入虚线的样式，不控制 node 的边界大小等内容。

缺陷： 该命令是用 node 的 minimum size 来计算 node 边界周长，这导致如果 node 内使用 inner sep 参数可能会使虚线起始点交汇处依然存在问题。

对于一般的 node 形状，涉及周长的计算，通用的解决方法可能比较困难，欢迎大家给出解答。

问题 5： \bigl 等命令能更加随意的改变定界符的大小以适应不同大小的公式，\left, \right命令也能一定程度的自适应公式大小，但这种适应只能覆盖一小部分场景。

本质上，这二者都是 TeX 层面的命令，它们都受 \delimiterfactor 和 \delimitershortfall 的影响，具体见 TeXbook

下面的例子可以看到 \delimiterfactor 对二者的影响程度不同

此外，\bigl, \bigr, \bigm, \big 等命令之间的差别就是定界符和公式之间的水平间距

用 tikz 的 matrix 模块给一种方法（在这种情况下它并非是最优解）

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,tikz}
\usetikzlibrary{matrix}

\begin{document}

\begin{equation}
  \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
    \matrix [matrix of math nodes, nodes={anchor=east},]{
      \frac{1}{\sqrt{2}}y_1  & -                  & \frac{1}{\sqrt{2}}y_2  &         & = & f_1\\
      \frac{1}{\sqrt{2}}y_1  & +                  & \frac{1}{\sqrt{2}}y_2  &         & = & f_2\\
                             & \textcolor{red}{+} & \frac{1}{\sqrt{2}}y_2  & + \,y_3 & = & f_3\\
                             & \textcolor{red}{+} & -\frac{1}{\sqrt{2}}y_2 &         & = & f_4\\
      \frac{1}{\sqrt{2}}y_1  &                    &                        & - \,y_3 & = & f_5\\
      -\frac{1}{\sqrt{2}}y_1 &                    &                        &         & = & f_6\\
    };
  \end{tikzpicture}
\end{equation}

\begin{equation}
  a + b =c
\end{equation}

\end{document}

结果如下

其中 [baseline=(current bounding box.center)] 是为了使 matrix 的公式编号垂直居中。

以上使用的是 equation 环境的自动编号，如果想使用手动编号，只需在 tikzpicture 环境后添加\tag{...}.

该方法对于公式中不同行列等间距输出的情况不是最优解，而对于行列不等间距的情况是比较方便的（因为 matrix 模块可以轻松指定 row sep, column sep 或者在 & 和 \\后添加增量距离来实现改变行列间距）。

lshort 中有提到扩展的内容，需要什么就找对应的宏包手册，有了初步知识后就可以实践，在排版过程中遇到问题就找对应宏包学习。此外可以问问 ai，它给出大致的范围，找对应资料再详细了解。

如果局部修改，建议采用垂直距离命令(诸如\vskip,\vspace*{}等)，如果全局修改，可以修改\abovedisplayskip和\belowdisplayskip，示例如下

\documentclass{ctexart}

\usepackage{amsmath}

\makeatletter
\renewcommand\normalsize{%
  \@setfontsize\normalsize\@xpt\@xiipt
  \abovedisplayskip 20pt plus 3pt minus 3pt
  \belowdisplayskip 20pt plus 3pt minus 3pt
}
\makeatother

\begin{document}

一些文本一些文本一些文本一些文本
\[
1+2=3
\]
一些文本一些文本一些文本一些文本一些文本

\end{document}

也可以将其放入 group 内，修改一部分区域。

symbol-a4上有诸多数学符号字体，可以试试...

针对求和号右上角的 prime:

% \usepackage{amsmath}
\[
\sideset{}{'}{\sum}
\]

抱歉，是我问题未叙述清晰，已修改问题

给个笨办法，先画一遍一种颜色的，再对需要变颜色的地方重新描一遍。

如果图形有比较多重复的地方，可以设置自定义宏减少工作量。

另外不知道能不能做一个这样的功能：能只对 draw 的某一 x 和 y 的坐标范围给予特定参数效果，这样不仅对染色，还对其他修饰也起作用。

一个简单粗暴的方法，但自由度比较高：

\begin{equation} 
\left\{
\begin{aligned}
    &\dot{X}(t)=AX(t)+Bw(0,t), &&t\in(0,T),\\
    &w_t(x,t)-w_{xx}(x,t)=0, &&x\in[0,D],t\in(0,T),\\
    &w(0,t)=\gamma(D)X(t)\\
    &\hspace*{3.1em}  \displaystyle{
        +\int_{0}^{D}\left(\int_{0}^{D-y}\gamma(\sigma)d\sigma\right) Bu(y,t)dy},&& t\in(0,T),
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

应该有特定的环境支持，一时想不起来了。