宏包杨图

【LaTeX 教程】手把手教你如何绘制杨图和杨表

发布于 2025-03-13 01:25:07

在群表示论的领域中，杨图和杨表是对称群及相关结构表示分类和分析的基本工具。

杨图其实就是整数分割（或者说是配分数）的可视化表示，整数分割与对称群不可约表示之间存在密切的对应关系（一组配分数就对应了对称群的一个不可约表示），杨图的形状包含了表示的重要信息，包括对称群不可约表示的维度和对称性。

杨表是在杨图的基础上构建的，通过在框格中填入整数，并遵循特定规则。标准杨表要求每行和每列的填充值严格递增，而半标准杨表允许重复填充值，但仍需要满足行递增和列递增的条件。

除了在群表示论中，杨图和杨表在组合学、代数几何、数学物理等领域也有应用。

因为我最近在写的笔记用到了杨图、杨表、杨算符的内容，查了一下知乎没有人写怎么在 LaTeX 里绘制杨图和杨表，所以我这里简单写一篇文章以做介绍。

本文选自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/4908403199

在 LaTeX 中绘制杨图杨表可以有三个宏包来支持，即 young, youngtab 和 ytableau，前两个宏包已经过时，我这里以第三个宏包 ytabelau 为例做说明。

首先第一件事当然是导入宏包：\usepackage{ytableau}。

一、绘制杨图

绘制杨图的基本命令是：

\ydiagram [⟨general formatting⟩] {[⟨offset⟩ +]⟨number⟩,...}

这里的 ⟨offset⟩ 是可选项，表示每一行表格的起始位置，后面的 ⟨number⟩ 代表着每一行表格的个数。

以 \ydiagram{2 + 1, 3, 1} 为例子：

2 + 1 代表第一行有 1 个表格，起始偏移量是 2 ，代表第一行表格需要从第三列开始画起（也即前两列是空着的）；
3 代表第二行有 3 个表格，没有偏移量意味着从第一列开始画；
1 代表第三行有 1 个表格，没有偏移量意味着从第一列开始画。

完整地写出来就是：

\documentclass[border=5pt]{standalone}
\usepackage{ytableau}

\begin{document}

\ydiagram{2 + 1, 3, 1}

\end{document}

杨图{2 + 1, 3, 1}

注意这里的 ydiagram 默认是行内显示的，如果需要用行间显示，可以在外面套一个 begin{equation} …… end{equation} 就可以了。

例如置换群表示外积 [2]⊙[1] 的约化，用杨图写出来就是：

\documentclass[border=5pt]{standalone}
\usepackage{ytableau}

\begin{document}

$
\ytableausetup{aligntableaux=center}
  \ydiagram{2} \odot \ydiagram{1} \simeq \ydiagram{3} \oplus \ydiagram{2,1}
$

\end{document}

置换群表示外积的约化

这里的 ytableausetup{aligntableaux=center} 就是对杨图的统一样式设置，其中 aligntableaux=center 是令杨表居中对齐。

你也可以在 ⟨general formatting⟩ 设置表格的格式，比如所有表格的颜色、所有表格填充的数字等。

二、绘制杨表

绘制杨表的基本命令就是

\begin{ytableau}[⟨general formatting⟩]
⟨entry⟩ & *(⟨color name⟩) ⟨entry⟩ & ... \\
...
\end{ytableau}

⟨entry⟩ 代表对应表格填的内容，如果需要表格内空白，可以使用 {} 代替；
⟨color name⟩ 这是一个可选性，来表示对应表格的颜色；
⟨general formatting⟩ 是杨表格式的统一设置

一个简单的例子：

\documentclass[border=5pt]{standalone}
\usepackage{ytableau}

\begin{document}

\begin{ytableau}
  a & d & f \\
  b & e & g \\
  c
\end{ytableau}

\end{document}

以及

\documentclass[border=5pt]{standalone}
\usepackage{ytableau}

\begin{document}

\ytableausetup{mathmode, boxframe=normal, boxsize=2em}
\begin{ytableau}
1 & 2 & 3 & \none[\dots]
& \scriptstyle 2n - 1 & 2n \\
2 & 3 & 4 & \none[\dots]
& 2n \\
\none[\vdots] & \none[\vdots]
& \none[\vdots] \\
\scriptstyle 2n - 1 & 2n \\
2n
\end{ytableau}

\end{document}

杨表

这里的 none 是使得对应表格内容为空，且表格边框消失。

\documentclass[border=5pt]{standalone}
\usepackage{ytableau}

\begin{document}

\ytableausetup{tabloids}
\ytableaushort{
123, 45, 6
}

\end{document}

这里的 \ytableausetup{tabloids} 是取消杨表中的所有竖线。

当然你也可以给每个杨表加颜色，如

\documentclass[border=5pt]{standalone}
\usepackage{ytableau}

\begin{document}

\begin{ytableau}
  *(red) 1& *(red) 3 &*(red) 5 \\
  *(pink) 2 & *(pink) 4 \\
  *(pink) 6
\end{ytableau}

\end{document}

给杨表添加颜色

三、另一种绘制杨表的方式

ytableau 宏包提供了另一种更简洁的绘制杨表方式，实际效果和上面使用 ytableau 环境没什么差别，只是使用起来更加方便。

\ytableaushort [⟨general formatting⟩] {⟨line⟩,⟨line⟩,...}

这里的 ⟨line⟩ 就是每一行杨表填充的内容。

例如

\documentclass[border=5pt]{standalone}
\usepackage{ytableau}

\begin{document}

\ytableaushort{adf,be,c}

\end{document}

四、杨表的连锁

这里的连锁其实是原文档 chanining 的翻译（我也找不到好的翻译词），从理解上来看，更像是将多个杨表重叠组成一张新的杨表，这可以更方便地绘制较复杂的杨表，它的基本格式是：

\ydiagram ⟨arguments⟩ * ⟨arguments⟩ * ...

\ytableaushort ⟨tableau arguments⟩ * ⟨diagram arguments⟩ * ...

这里的每一个 ⟨arguments⟩ 都是一个杨图或杨表。

例如

\documentclass[border=5pt]{standalone}
\usepackage{ytableau}

\begin{document}

\ytableaushort{135,24,6}
*[*(red)]{3} *[*(pink)]{3,2,1}

\end{document}

杨表的连锁

先利用 ytableaushort{135,24,6} 生成一个杨表，第一行是 1, 3, 5，而第二行是 2, 4，第三行是 6；
后面的 [(red)]{3}，其实是 ydiagram[*(red)]{3} 的缩写，表示生成只有一行三个格子的杨图，且填充红色；
后面的 [(pink)]{3,2,1}，是 ydiagram[*(pink)]{3,2,1} 的缩写，表示生成第一行三格、第二行两格、第三行一格的杨图，且填充粉色；
将以上三张图合并在一起（从后往前的顺序合并），就得到了最终上图显示的杨表。

其他例子：

\documentclass[border=5pt]{standalone}
\usepackage{ytableau}

\begin{document}

\ytableaushort{\none,\none ab, \none c}
* {4,3,2,1}
* [*(yellow)]{4,1,1,1}
\quad 
\ydiagram[*(white) \bullet]
{3+2,3+1,2,2}
*[*(green)]{5,4,3,2,1}

\end{document}

杨表的连锁