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10 三角形中高的绘制方法

发布于 2025-07-30 22:16:39

晚上在做下面这个图，看起来很简单，但最后居然还是用自己的想法没有做出来。后来用腾讯元宝做了个近似的出来。

image.png

我的构思如下：

  1. 做一个等腰三角形；
  2. 找到三条高的交点；
  3. 然后有选择的绘制其中的高；
  4. 题目中要求的AE=BE，通过微调顶点A的坐标，得到肉眼近似相等。

但按照上面的方法绘制近似的图形，最后报错了。

Package pgf Error: No shape named `D' is known. ^^I^^I\tkzLabelPoint[below](D){$D$}
Package pgf Error: No shape named `E' is known. ^^I^^I\tkzLabelPoint[right](E){$E$}

想请教下大佬们报错的原因以及怎么应该怎么改正？

另外如果想要精确地按照题目中的要求AE=BE来绘制，应该是什么样的思路。

三角形高或者从某点到一条线的高绘制方法有哪些。

谢谢！附件如后。

005.tex

\documentclass[tikz, border=5mm]{standalone}
\usepackage{tkz-euclide}
%\usetkzobj{all} % 解决命令未定义问题 - 加载所有对象类型
\usetikzlibrary{angles, quotes} % 用于绘制角度标记

\begin{document}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
        % 定义三个顶点
        \tkzDefPoints{-1.5/0/B, 1.5/0/C, 0/4/A}
        % 定义垂心
        \tkzDefTriangleCenter[ortho](A,B,C)
        \tkzGetPoint{P}
        % 定义三个垂足
        \tkzDefSpcTriangle[ortho,name=P](A,B,C){D,E,F}
        % 画三角形ABC，画三个顶点，连三条高线
        \tkzDrawPolygon[thick][color=blue](A,B,C)
%        \tkzDrawPoints(A,B,C,P)
%        \tkzDrawSegments[thick](A,PD B,PE C,Pc)
        \tkzDrawSegments[thick](A,PD B,PE)
        % 添加标签
        \tkzLabelPoint[above left](P){$P$}
        \tkzLabelPoint[above](A){$A$}
        \tkzLabelPoint[below left](B){$B$}
        \tkzLabelPoint[below right](C){$C$}
        \tkzLabelPoint[below](D){$D$}
        \tkzLabelPoint[right](E){$E$}
%        \tkzAutoLabelPoints[center=P](A,B,C)        
    \end{tikzpicture}
\end{document}

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Sagittarius Rover
Sagittarius Rover 22小时前
我要成为Typst糕手/(ㄒoㄒ)/~~

很棒！学以致用！

也许从下面这个例子里可以找到原因：

image.png

name=H意味着得到的垂直实际上名为Ha、Hb与Hc...

\documentclass[tikz, border=5mm]{standalone}
\usepackage{tkz-euclide}
%\usetkzobj{all} % 解决命令未定义问题 - 加载所有对象类型
\usetikzlibrary{angles, quotes} % 用于绘制角度标记

\begin{document}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
        % 定义三个顶点
        \tkzDefPoints{-1.5/0/B, 1.5/0/C, 0/4/A}
        % 定义垂心
        \tkzDefTriangleCenter[ortho](A,B,C)
        \tkzGetPoint{P}
        % 定义三个垂足
        \tkzDefSpcTriangle[ortho,name=P](A,B,C){D,E,F}
        % 画三角形ABC，画三个顶点，连三条高线
        \tkzDrawPolygon[thick][color=blue](A,B,C)
%        \tkzDrawPoints(A,B,C,P)
%        \tkzDrawSegments[thick](A,PD B,PE C,Pc)
        \tkzDrawSegments[thick](A,PD B,PE)
        % 添加标签
        \tkzLabelPoint[above left](P){$P$}
        \tkzLabelPoint[above](A){$A$}
        \tkzLabelPoint[below left](B){$B$}
        \tkzLabelPoint[below right](C){$C$}
        \tkzLabelPoint[below](PD){$D$}
        \tkzLabelPoint[right](PE){$E$}
%        \tkzAutoLabelPoints[center=P](A,B,C)        
    \end{tikzpicture}
\end{document}

image.png

如何debug?

Package pgf Error: No shape named `D' is known. ^^I^^I\tkzLabelPoint[below](D){$D$}
Package pgf Error: No shape named `E' is known. ^^I^^I\tkzLabelPoint[right](E){$E$}

查看报错信息，为什么只有D和E找不到，看看这两个点是在\tkzDefSpcTriangle里定义的，回去翻\tkzDefSpcTriangle的文档：

（此事在文档中亦有记载...）

image.png

关于如何精确让AE=BE...

这里的E点如果直接用AE=BE个人觉得会稍显复杂，因为衡量长度似乎稍显代码冗长....

条条大道通罗马...

第一个思路：「高+等腰=等腰直角大概可以想到中垂线」

  • 确定A、B、C
  • 作高AD⊥BC
  • 作AB上的中垂线交AC于E
\documentclass[tikz,border=5mm]{standalone}
\usepackage{tkz-euclide}
\usetikzlibrary{angles}
\begin{document}
    \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round]
        \tkzDefPoints{-1.5/0/B, 1.5/0/C, 0/4/A}
        \tkzDefPointBy[projection = onto B--C](A)
        \tkzGetPoint{D}

        \tkzDefLine[mediator](A,B)
        \tkzGetPoints{P1}{P2}
        \tkzInterLL(A,C)(P1,P2) 
        \tkzGetPoint{E}

        \tkzInterLL(A,D)(B,E) 
        \tkzGetPoint{P}

        \tkzDrawSegments[thick](A,D B,E)
        \tkzDrawPolygon[semithick](A,B,C)
 
        \tkzLabelPoint[above](A){$A$}
        \tkzLabelPoint[below left](B){$B$}
        \tkzLabelPoint[below right](C){$C$}
        \tkzLabelPoint[below](D){$D$}
        \tkzLabelPoint[right](E){$E$}
    \end{tikzpicture}
\end{document}

image.png

不过这似乎不太直角...

再看看「点A」应该如何定位吧...

嗯，显然∠BAC是45°，对于(-1.5,0) (1.5,0)和(0,4)用余弦定理理论上这个角不是45°，所以要想完全精确最好是不要直接给定ABC的坐标，应该另谋他路来「用最少的点唯一确定这个图形」...

未完待续....

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Sagittarius Rover
Sagittarius Rover 21小时前
我要成为Typst糕手/(ㄒoㄒ)/~~

取巧的办法：
不难注意到：
tan22.5° = √2-1
cot22.5°= √2+1

所以令A(0,1.5*(sqrt(2)+1))即可

\documentclass[tikz,border=5mm]{standalone}
\usepackage{tkz-euclide}
\usetikzlibrary{angles}
\begin{document}
    \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round]
        \tkzDefPoints{-1.5/0/B, 1.5/0/C, 0/(1.5*(\tkzSqrTwo+1))/A}
        \tkzDefPointBy[projection = onto B--C](A)
        \tkzGetPoint{D}

        \tkzDefLine[mediator](A,B)
        \tkzGetPoints{P1}{P2}
        \tkzInterLL(A,C)(P1,P2) 
        \tkzGetPoint{E}

        \tkzInterLL(A,D)(B,E) 
        \tkzGetPoint{P}

        \tkzDrawSegments[thick](A,D B,E)
        \tkzDrawPolygon[semithick](A,B,C)
 
        \tkzLabelPoint[above](A){$A$}
        \tkzLabelPoint[below left](B){$B$}
        \tkzLabelPoint[below right](C){$C$}
        \tkzLabelPoint[below](D){$D$}
        \tkzLabelPoint[right](E){$E$}

        \tkzMarkRightAngle[fill=orange!10](A,E,B)
        \tkzMarkSegments[mark=s||](B,E A,E)
    \end{tikzpicture}
\end{document}

image.png

当然，这对数学要求较高，需要记住一些三角函数值...

不过就这个例子而言，为了方便BC水平摆放，BC是要先确定的，而顶角为45°又直接唯一确定了A，所以似乎用这个三角函数是最直接的(?) 换句话讲，这道题中「A点是不能让你自由放置的，隐含的角度关系隐式限制了绘图的自由度」...

如果从倾斜放置的三角形ABC是等腰直角开始画，似乎很难保证BC水平...

蹲蹲有无更好的准确定位思路...

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Sagittarius Rover
Sagittarius Rover 21小时前
我要成为Typst糕手/(ㄒoㄒ)/~~
三角形高或者从某点到一条线的高绘制方法有哪些。

我觉得最直接的就是projection?

image.png

当然如果你的最终目标是垂心，那用你源代码中的\tkzDefSpcTriangle[ortho,name=P](A,B,C){D,E,F}显然是更快更方便的...

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Balance
Balance 12小时前
这家伙很懒，什么也没写！

@u70550 不是因为目标是重心而这样绘制的啊，是在翻书的时候看到你最上面提到的那张书里面图的例子。工具书可能需要再慢慢来熟悉去哪里找想要的答案。不过这几天觉得绘图还是一个很有趣的事，以前用手来画图的时候，思考都没有这么多。可惜的是，年纪大了，思考的能力和精力下降太多了。叹口气。

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Balance
Balance 12小时前
这家伙很懒，什么也没写！

@u70550 \tkzDefPointBy...，定义某个点通过某个操作，这样理解句子，我好像才能用到绘图里面去。无法得心应手的使用宏包应该与没有把工具书中的词句“翻译”成熟悉的语言呢。要是有大佬们翻译这类书或者写这类书的时候，能够注释出来这些朴素的翻译，应该会更利于学习者掌握。O(∩_∩)O哈哈~

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Sagittarius Rover
Sagittarius Rover 11小时前
我要成为Typst糕手/(ㄒoㄒ)/~~

@u10189 其实我也是上下翻找了一会儿才找到的这个projection方法的，你也可以尝试把文档喂给ai让他帮你找找，但是 自己一定要返回文档原文做验证 。

\tkzDefPointBy...，定义某个点通过某个操作，这样理解句子，我好像才能用到绘图里面去。无法得心应手的使用宏包应该与没有把工具书中的词句“翻译”成熟悉的语言呢。

其实入门更直接的方法是「找到手册中哪里可以直接用于你目前的需求」，把他例子里的代码复制一下，自己弄懂，然后用到你自己的图里去。事实上不太需要"翻译"，因为这些命令名称是「自解释的」：

  • \tkzDefPointBy:定义某个点通过某个操作
  • \tkzDrawSegments:一次性绘制多条线段
  • \tkzInterLL: tkz - Intersection - Line Line 线线交点

在你的上一个提问的评论区，我也贴了文档的(过时)的中译版，可以供你比较快速了解有哪些功能，实际上你要绘制的「初中数学题」构图都相对简单，多多练习很快就能上手的~

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Balance
Balance 10小时前
这家伙很懒，什么也没写！

@u70550 是说把那个工具书的文档放在 AI 中，然后再用自然语言问它我们想要的问题么？那倒是真可以试试。

另有一个问题困扰我许久，编译时出现警告，但还是能编译出来。

image.png

就是把这些单个绘制的图放在整体的Tex中时会出现这样的状况。

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Sagittarius Rover
Sagittarius Rover 10小时前
我要成为Typst糕手/(ㄒoㄒ)/~~
是说把那个工具书的文档放在 AI 中，然后再用自然语言问它我们想要的问题么？那倒是真可以试试。

是的，可以提高查阅速度，提供一些思路

另有一个问题困扰我许久，编译时出现警告，但还是能编译出来。

这是字体和编译引擎的问题，和图片没什么关系，目测与fandol字体以及fourier-otf有关，只看报错信息无法debug，如果确实想要消除此警告，给可以复现问题的代码开新的问题。

另外，建议为每一张图片新建一个文件夹，其中的.tex使用standalone作为文档类，这样每一张图片都将得到一个.pdf文件，在主文件main.tex中\includegraphics即可。若如此做，各个「画图」与「试卷正文排版」模块间互相独立，更方便管理。

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2 个回答
Balance
Balance 12小时前
这家伙很懒，什么也没写！

最开始您回复，修改我没有定义「D」「E」的那个地方，后面提供的修改代码，我好像没有看出来区别，是该加什么句子，但是就画出来图了。可以指点下具体增加哪句代码么。感谢！

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Sagittarius Rover
Sagittarius Rover 12小时前
我要成为Typst糕手/(ㄒoㄒ)/~~

@u10189 不用增加代码，只是名字不对

从

\tkzLabelPoint[below](D){$D$}
\tkzLabelPoint[right](E){$E$}

修改为

\tkzLabelPoint[below](PD){$D$}
\tkzLabelPoint[right](PE){$E$}

这是因为\tkzDefSpcTriangle[ortho,name=P](A,B,C){D,E,F}里设置了name=P,所以三个垂足的名称是「PD,PE和PF」

image.png

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Balance
Balance 10小时前
这家伙很懒，什么也没写！

@u70550 啊！了解了，原来抄过来的时候未求甚解、囫囵吞枣看来是不行的。

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