50 如何绘制斯坦纳内切椭圆？

asymptote 内置了求取复系数的一元二次方程的例程：

故考虑直接求取 f(z) = (z-a)(z-b)(z-c) 的导数 f(z) = 3z^{2} - 2(a + b + c) + (ab + bc + ca) 的两个根，然后根据椭圆的定义，求出椭圆的半长轴即可。

代码如下：

// settings.render=8; settings.outformat="png";
settings.outformat="pdf";
unitsize(1cm); dotfactor = 3;
import geometry; defaultpen(/* fontsize(8pt) */linewidth(0.8pt));
/*======== 定义（Define）/计算（Calculate） =========*/
// f(z) = (z-a)*(z-b)*(z-c)
pair a = (-3,0), b = (2,-2), c = (0,4); 
point A = a, B = b, C = c; triangle t = triangle(A, B, C);
// f'(z) = 3*z^3 - 2*(a+b+c)*z + (a*b + b*c + c*a)
pair[] f1f2 = quadraticroots((pair)3, -2(a+b+c), (a*b+b*c+c*a));
point F1 = f1f2[0], F2 = f1f2[1];
point Ma = midpoint(t.BC);
// Ma 是椭圆 ell 上的点，根据椭圆定义得到 |MaF1| + |MaF2| = 2a
real a = (length(Ma-F1) + length(Ma-F2)) / 2;
ellipse ell = ellipse(F1, F2, a);
/*======== 绘制（Draw） =========*/
draw(t); draw(ell); dot(F1); dot(F2);
label("$A$", A, SW); label("$B$", B, SE);
/*======== 标注（Label） =========*/
label("$C$", C, N);
label("$F_{1}$", F1, W); label("$F_{2}$", F2, E); 

事实上，这种经典问题早已被 tkz-elements 一网打尽了，斯坦纳内切椭圆外接椭圆两手都要抓两手都要硬😡

使用仿射变换略施小计可以避免复杂的求根操作：

\documentclass{standalone}
\usepackage{luadraw}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fourier-otf}
\begin{document}
    \begin{luadraw}{name=steiner_inellipse}
    local ld = luadraw
    local cpx = ld.cpx
    local g = ld.graph:new{window={-1,6,-1,4},size={10,10}
    }
    local i, Z = cpx.I, cpx.Z
    local sqrt, pi = math.sqrt, math.pi
    local A0,B0,C0 = Z(-1,0), Z(1,0), Z(0,sqrt(3))
    local A,B,C = Z(0,0), Z(5,0), Z(1,3)
    local MA1 = {A0, B0-A0, C0-A0}
    local MA2 = {A,  B-A,  C-A}
    local M = ld.composematrix(MA2, ld.invmatrix(MA1))
    local In, r = ld.incircle(A0,B0,C0)
 
    g:Savematrix();g:Setmatrix(M)
    g:Dpolyline({A0,B0,C0}, true)
    g:Dpolyline(ld.circle({In,r}), true, "semithick,magenta")
    g:Restorematrix()

    g:Dlabel(
        "$A$",A,{pos="SW"},
        "$B$",B,{pos="SE"},
        "$C$",C,{pos="N"}
    )
    g:Show()
\end{luadraw}
\end{document}

这里用到的原理是，deepseek告诉我「三角形之于其内切斯坦纳椭圆的关系」，正如「一个等边三角形之于其内切圆的关系」。因此只要知道「A0B0C0」到「ABC」的仿射矩阵（代码中以基矩阵作为媒介），便可以对内切圆进行仿射变换M，立刻得到目标的内切椭圆...